Usando a definição de derivada, calcule f^prime(x), para f(x)=raizx+2, definida para x >=-2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é limite de diferença quociente e vamos precisar usar a expressão

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença para f(x)=raizx+2:
f(x+h)-f(x)h=raizx+2+h-raizx+2h

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizx+2+h+raizx+2:
raizx+2+h-raizx+2hcdot raizx+2+h+raizx+2raizx+2+h+raizx+2 =(x+2+h)-(x+2)hl(raizx+2+h+raizx+2r) =hhl(raizx+2+h+raizx+2r) =1raizx+2+h+raizx+2

Passo 4

Para finalizar, tomamos o limite quando hto0. Substituindo h=0 no denominador,
f'(x)=limhto01raizx+2+h+raizx+2=12raizx+2

Resposta

f'(x)=12raizx+2

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