Dada as funções seguintes, classifique-as em: I) injetora
II) sobrejetora
III) bijetora
IV) não é injetora nem sobrejetora: b) tal que
Passo 1
A questão pede para classificar a função g:RtoR definida por
g(x)= x-1, & x>=1, 0, & -1
nos tipos injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das duas.
Passo 2
Vamos lembrar as definições: uma função é injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas; é sobrejetora se sua imagem é todo o contradomínio; e é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 3
Para encontrar a imagem de g, analisamos cada trecho:
Para x>=1, g(x)=x-1 varia de 0 (em x=1) até +infty, isto é, [0,infty).
Para -1, g(x)=0 dá apenas o valor 0.
Para x<=-1, g(x)=x+1 varia de -infty até 0 (em x=-1), isto é, Im(g)=(-infty,0]cup[0,infty)=R, .
Assim a imagem é
g
logo é sobrejetora.
Passo 4
Para checar injetividade, basta notar que muitos valores diferentes do domínio têm a mesma imagem 0 (por exemplo, g(0)=0 e g(1)=0). Logo não é injetora.
Passo 5
Concluindo, g não é injetora, mas tem imagem igual a R, ou seja, é sobrejetora (e não bijetora).