Esboce o gráfico das seguintes funções:
,
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função
. O conteúdo é estudo de função real: domínio, interceptos, monotonia, concavidade e assíntotas.
Passo 2
Identificação do domínio e interceptos: o domínio é
. No eixo
, em
temos
, então o ponto
. A equação
não tem solução real porque a função é sempre positiva.
Passo 3
Estudo da monotonia usando a derivada: calculamos
. Igualando a zero, temos raiz em
. Para
,
então
(função decrescente). Para
,
então
(função crescente). Logo
é ponto de mínimo global.
Passo 4
Análise da concavidade com a segunda derivada:
para todo
. Isso mostra que a curva é convexa em todo o domínio e não há ponto de inflexão.
Passo 5
Comportamento nas extremidades e assíntota: ao
,
e
. Logo a reta
é assíntota oblíqua à esquerda. Ao
,
domina e
, sem assíntota à direita.
Passo 6
Esboço final (descrito): a curva vem de
para
, aproximando-se de
, decresce convexamente até o mínimo em
e depois cresce convexamente disparando para
.
Resposta
Gráfico convexa, decrescente em (−∞,0), mínimo global em (0,1), crescente em (0,+∞), com assíntota oblíqua
quando
.