Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=e^x-x,

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função y=e^x - x. O conteúdo é estudo de função real: domínio, interceptos, monotonia, concavidade e assíntotas.

Passo 2

Identificação do domínio e interceptos: o domínio é R. No eixo y, em x=0 temos y=e^0-0=1, então o ponto (0,1). A equação e^x - x=0 não tem solução real porque a função é sempre positiva.

Passo 3

Estudo da monotonia usando a derivada: calculamos y'=e^x-1. Igualando a zero, temos raiz em x=0. Para x<0, e^x<1 então y'<0 (função decrescente). Para x>0, e^x>1 então y'>0 (função crescente). Logo x=0 é ponto de mínimo global.

Passo 4

Análise da concavidade com a segunda derivada: y''=e^x>0 para todo x. Isso mostra que a curva é convexa em todo o domínio e não há ponto de inflexão.

Passo 5

Comportamento nas extremidades e assíntota: ao xto-infty, e^xto0 e y=e^x - xapprox -x. Logo a reta y=-x é assíntota oblíqua à esquerda. Ao xto+infty, e^x domina e yto+infty, sem assíntota à direita.

Passo 6

Esboço final (descrito): a curva vem de +infty para xto-infty, aproximando-se de y=-x, decresce convexamente até o mínimo em (0,1) e depois cresce convexamente disparando para +infty.

Resposta

Gráfico convexa, decrescente em (−∞,0), mínimo global em (0,1), crescente em (0,+∞), com assíntota oblíqua y=-x quando x→-∞.

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