Esboce o gráfico das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo envolvido é estudo de funções racionais: domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e análise de sinais.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas: o denominador
não pode ser zero, logo o domínio é
. Há assíntotas verticais em
. Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, a assíntota horizontal é
.
Passo 3
Calcular interceptos: para o eixo
temos
dando
. Para o eixo
, em
temos
.
Passo 4
Estudar monotonicidade e extremal: derivando
obtemos
que se anula só em
. Como
para
e
para
, temos um máximo local em
.
Passo 5
Analisar o sinal da função: o numerador
é negativo em
e positivo em
; o denominador
é negativo em
e positivo em
. Combinando, f é positiva em
e em
, e negativa no intervalo
.
Passo 6
Descrever o esboço: há três ramos. Para
, o ramo cai de
em
até
em
. Entre
o gráfico cruza o eixo em
, sobe a um máximo
, desce a
e vai a
em
. Para
, sai de
em
e aproxima-se de
quando
.
Resposta
O gráfico tem três ramos separados por assíntotas verticais em x=±√2 e uma assíntota horizontal y=2. Há cruzamentos em x=±1/√2 e um máximo local em (0,½). O esboço segue a descrição dos sinais e comportamentos próximo às assíntotas e no infinito, conforme detalhado nos passos acima.