Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=2 x^2-1x^2-2,

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional y=2x^2-1x^2-2. O conteúdo envolvido é estudo de funções racionais: domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e análise de sinais.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas: o denominador x^2-2 não pode ser zero, logo o domínio é xneqpmraiz2. Há assíntotas verticais em x=pmraiz2. Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, a assíntota horizontal é y=tfrac21=2.

Passo 3

Calcular interceptos: para o eixo x temos 2x^2-1=0 dando x=pmtfrac1raiz2. Para o eixo y, em x=0 temos y=tfrac-1-2=tfrac12.

Passo 4

Estudar monotonicidade e extremal: derivando f(x)=tfrac2x^2-1x^2-2 obtemos f'(x)=-6x(x^2-2)^2 que se anula só em x=0. Como f'(x)>0 para x<0 e f'(x)<0 para x>0, temos um máximo local em (0,,tfrac12).

Passo 5

Analisar o sinal da função: o numerador 2x^2-1 é negativo em |x|<1/raiz2 e positivo em |x|>1/raiz2; o denominador x^2-2 é negativo em |x| e positivo em |x|>raiz2. Combinando, f é positiva em |x|<1/raiz2 e em |x|>raiz2, e negativa no intervalo 1/raiz2<|x|.

Passo 6

Descrever o esboço: há três ramos. Para x<-raiz2, o ramo cai de yto2^+ em xto-infty até +infty em xto-raiz2^-. Entre -raiz2,raiz2 o gráfico cruza o eixo em -1/raiz2,0), sobe a um máximo (0,1/2), desce a (1/raiz2,0) e vai a -infty em xtoraiz2^-. Para x>raiz2, sai de +infty em xtoraiz2^+ e aproxima-se de y=2 quando xto+infty.

Resposta

O gráfico tem três ramos separados por assíntotas verticais em x=±√2 e uma assíntota horizontal y=2. Há cruzamentos em x=±1/√2 e um máximo local em (0,½). O esboço segue a descrição dos sinais e comportamentos próximo às assíntotas e no infinito, conforme detalhado nos passos acima.

Exercícios relacionados