Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
. O conteúdo chave aqui é análise de polinômios via derivadas: domínio, comportamento em
, extremos (derivada primeira) e concavidade (derivada segunda).
Passo 2
O domínio é todos os reais, pois é um polinômio. Para
temos
e
, logo
. Para
,
ainda domina e vai a
, enquanto
mas o termo de grau 8 cresce mais rápido, resultando em
.
Passo 3
Vamos achar a derivada primeira:
Passo 4
Para encontrar extremos, resolvemos
:
Esse
é o único ponto crítico. Agora a derivada segunda:
Passo 5
Como
para todo
, temos
em todo o domínio. Isso significa que a curva é sempre convexa (concorcência para cima) e o ponto crítico é um mínimo global.
Passo 6
Para termos ideia do mínimo, aproximamos numericamente:
Passo 7
Com isso em mente, o esboço é uma curva em “U” levemente deslocada para a esquerda do eixo
, com mínimo em aproximadamente
, decrescendo de
até esse mínimo e depois crescendo para
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva sempre convexa, com único mínimo global em aproximadamente
, tendendo a
quando
.