Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=x^8+x

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função y = x^8 + x. O conteúdo chave aqui é análise de polinômios via derivadas: domínio, comportamento em xtopminfty, extremos (derivada primeira) e concavidade (derivada segunda).

Passo 2

O domínio é todos os reais, pois é um polinômio. Para xto+infty temos x^8to+infty e +xto+infty, logo yto+infty. Para xto-infty, x^8 ainda domina e vai a +infty, enquanto +xto-infty mas o termo de grau 8 cresce mais rápido, resultando em yto+infty.

Passo 3

Vamos achar a derivada primeira:
y'=ddx(x^8+x)=8x^7+1

Passo 4

Para encontrar extremos, resolvemos y'=0:
8x^7+1=0 implies x^7=-tfrac18 implies x0=-l(tfrac18r)^1/7
Esse x0 é o único ponto crítico. Agora a derivada segunda:
y''=ddx(8x^7+1)=56x^6

Passo 5

Como x^6>=0 para todo x, temos y''>=0 em todo o domínio. Isso significa que a curva é sempre convexa (concorcência para cima) e o ponto crítico é um mínimo global.

Passo 6

Para termos ideia do mínimo, aproximamos numericamente:
x0approx-l(8^-1r)^1/7approx-0,74,
y0=x0^8+x0approx(0,74)^8-0,74approx0,093-0,74approx-0,65

Passo 7

Com isso em mente, o esboço é uma curva em “U” levemente deslocada para a esquerda do eixo y, com mínimo em aproximadamente (-0,74,-0,65), decrescendo de +infty até esse mínimo e depois crescendo para +infty.

Resposta

O gráfico de y=x^8+x é uma curva sempre convexa, com único mínimo global em aproximadamente (-0,74,,-0,65), tendendo a +infty quando xtopminfty.

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