Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=x(x-1)(x^3+1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função racional
y=x(x-1)(x^3+1)
Conteúdo: funções racionais. Para resolver, vamos precisar de domínio, interceptos, assíntotas, análise de sinal e limites em pontos críticos.

Passo 2

Determinar o domínio e os interceptos. Observamos que o denominador se anula quando x−1=0 (x=1) ou x^3+1=0 (x=−1). Logo o domínio é
Rsetminus-1,1
O intercepto em x ocorre quando y=0 ⇔ x=0, então o único ponto de corte com o eixo x (e y) é (0,0).

Passo 3

Encontrar as assíntotas.
– Verticais em x=1 e x=−1. Calculando limites:
limxto1^pmy=limxto1^pmx2(x-1)=pminfty,
limxto-1^pmy=limxto-1^pm-1-6(x+1)=pminfty
– Horizontal em y=0, pois grau do numerador (1) < grau do denominador (4):
limxtopminftyy=0

Passo 4

Analisar o sinal da função. Note que x^2−x+1>0 sempre, então
sgn(y)=sgn(x)cdotsgn(x-1)cdotsgn(x+1)
Fazendo a tabela de sinal:
• Para x<−1: x⁻, x−1⁻, x+1⁻ ⇒ y⁻;
• −1<x<0: x⁻, x−1⁻, x+1⁺ ⇒ y⁺;
• 0<x<1: x⁺, x−1⁻, x+1⁺ ⇒ y⁻;
• x>1: x⁺, x−1⁺, x+1⁺ ⇒ y⁺.

Passo 5

Descrever o comportamento em cada intervalo usando limites e sinais.
• Em (−∞,−1): y<0, tende a 0⁻ quando x→−∞ e a −∞ em x→−1⁻;
• Em (−1,0): y>0, tende a +∞ em x→−1⁺ e a 0⁻ em x→0⁻;
• Em (0,1): y<0, tende a 0⁺ em x→0⁺ e a −∞ em x→1⁻;
• Em (1,∞): y>0, tende a +∞ em x→1⁺ e a 0⁺ em x→+∞.

Passo 6

Agora com todas essas informações, basta desenhar: duas assíntotas verticais em x=−1 e x=1, assíntota horizontal y=0, intercepto em (0,0) e curvas nos quatro intervalos com o sinal e limites descritos acima.

Resposta

O gráfico tem domínio ℝ{−1,1}, intercepto em (0,0), assíntotas verticais em x=−1 e x=1, assíntota horizontal em y=0. A função fica abaixo do eixo em (−∞,−1) e (0,1), acima do eixo em (−1,0) e (1,∞), com comportamentos limite:
– x→−∞: y→0⁻; x→−1⁻: y→−∞; x→−1⁺: y→+∞; x→0: y=0;
– x→1⁻: y→−∞; x→1⁺: y→+∞; x→+∞: y→0⁺.

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