Seja H subset R^n um subespaço vetorial de dimensão n-1. Seja beta=v1, cdots, vn subset R^n uma base de R^n cujos primeiros n-1 vetores formam uma base de H e considere a base dual f1, f2, cdots, fn subset(R^n)^* da base beta. Prove que fn(v)=0 para cada v in H.

Passo 1

O enunciado diz que HsubsetR^n é um subespaço de dimensão n-1 e que beta=v1,dots,vn-1,vn é uma base de R^n cujos primeiros n-1 vetores formam base de H. A teoria que vamos usar é a definição de base dual: se f1,dots,fn é a base dual de beta, então
fi(vj)=de<aij
onde de<aij é o delta de Kronecker.

Passo 2

Como v1,dots,vn-1 é base de H, qualquer vetor vin H pode ser escrito de forma única como combinação linear
v = sumi=1^n-1 ai,vi
para alguns escalares a1,dots,an-1inR.

Passo 3

Usando linearidade de fn e a propriedade fn(vj)=de<anj, temos
fn(v) = fnl(sumi=1^n-1 ai,vir) = sumi=1^n-1 ai,fn(vi) = sumi=1^n-1 aicdot 0 = 0

Resposta

Para todo vin H, vale fn(v)=0.

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