Questão 5. Seja
uma função diferenciável e defina
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá que
é diferenciável e define
Observações importantes que vêm do enunciado:
- A definição de
usa as expressões e , portanto estamos trabalhando em pontos com e . - O que é pedido: mostrar que
Passo 2
Para organizar a conta, introduzo variáveis auxiliares
Assim podemos escrever
Agora uso a regra da cadeia para derivadas parciais: se
e
é diferenciável, então
Aqui,
e
significam as derivadas parciais de
avaliadas no ponto
. Para simplificar a escrita, defino
de modo que nas fórmulas acima
e
são avaliados em
.
Passo 3
Calculo agora as derivadas parciais de
e
. Para
vemos facilmente:
(Isto pode ser visto como derivada de quociente ou tratando
.)
Para temos
Para
(De novo, tratar
facilita.)
Passo 4
Substituo essas derivadas nas fórmulas da regra da cadeia. Assim
em que
e
são avaliados em
.
Passo 5
Agora multiplico por
e por
e somo as duas expressões:
Agrupando termos por
e
obtemos
Calculo as duas somas entre parênteses:
Portanto cada fator multiplicando
e
é zero, e obtemos
Passo 6
Intuição rápida (opcional, para lembrar na prova): as funções
e
são homogêneas de grau
(ou seja, não mudam se multiplicar
por um escalar), por isso a combinação
e
é zero — essa é a razão algebraica por trás do cancelamento que fizemos. Mas a prova que interessa já foi feita por derivadas e substituições.