esboce o grafico 1 / 4(x^wed>= 3-6 x^wed>= 2+16)

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
f(x)=14l(x^3-6x^2+16r)
Iremos estudar o domínio, interceptos, monotonicidade (derivada), pontos críticos (máximos e mínimos locais), concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada) e, por fim, o comportamento para xtopminfty para montar o esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos:
– Como é um polinômio, o domínio é R.
– Intercepto em y:
f(0)=14(0-0+16)=4,
logo corta o eixo y em (0,4).
– Interceptos em x resolvendo
x^3-6x^2+16=0
Uma raiz óbvia é x=2. Fazendo divisão polinomial, sobra x^2-4x-8=0 cujas raízes são
x=2pm2raiz3(aprox -1,46 e 5,46)

Passo 3

Monotonicidade e pontos críticos:
f'(x)=14(3x^2-12x)=34,x(x-4)
As soluções f'(x)=0 são x=0 e x=4. Avaliando:
f(0)=4, f(4)=14(64-96+16)=-4
Analisando o sinal de f'(x):
– Para x<0, temos x<0 e x-4<0 ;Longrightarrow f'>0 (crescente).
– Para 0<x<4, temos x>0 e x-4<0 ;Longrightarrow f'<0 (decrescente).
– Para x>4, temos x>0 e x-4>0 ;Longrightarrow f'>0 (crescente).
Logo há máximo local em (0,4) e mínimo local em (4,-4).

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=14(6x-12)=32(x-2)
A segunda derivada anula em x=2, onde
f(2)=14(8-24+16)=0
Para x<2, f''(x)<0 (côncavo para baixo); para x>2, f''(x)>0 (côncavo para cima). Portanto ponto de inflexão em (2,0).

Passo 5

Comportamento nas extremidades:
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty,
pois o termo dominante é tfrac14x^3.
Com tudo isso, o esboço qualitativo fica assim:
– Cúbica que cresce para xto-infty, chega ao máximo local em (0,4), decresce até o mínimo local em (4,-4) e cresce depois.
– Ponto de inflexão em (2,0), mudando de côncavo para baixo para côncavo para cima.
– Interceptos em xapprox -1,46,;2 e 5,46.

Resposta

O gráfico de f(x) é uma cúbica com esses pontos notáveis:
– Máximo local em (0,4).
– Mínimo local em (4,-4).
– Ponto de inflexão em (2,0).
– Interceptos em xapprox -1,46,;2 e 5,46.
– Cresce em (-infty,0), decresce em (0,4), cresce em (4,infty).
– Concavidade para baixo em x<2 e para cima em x>2.
Com isso, basta traçar e conectar suavemente esses pontos respeitando as concavidades para obter o esboço.

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