esboce o grafico
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
Iremos estudar o domínio, interceptos, monotonicidade (derivada), pontos críticos (máximos e mínimos locais), concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada) e, por fim, o comportamento para
para montar o esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos:
– Como é um polinômio, o domínio é .
– Intercepto em :
– Como é um polinômio, o domínio é
– Intercepto em
logo corta o eixo
em
.
– Interceptos em resolvendo
– Interceptos em
Uma raiz óbvia é
. Fazendo divisão polinomial, sobra
cujas raízes são
Passo 3
Monotonicidade e pontos críticos:
As soluções
são
e
. Avaliando:
Analisando o sinal de
:
– Para , temos
e
(crescente).
– Para , temos
e
(decrescente).
– Para , temos
e
(crescente).
Logo há máximo local em e mínimo local em
.
– Para
– Para
– Para
Logo há máximo local em
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
A segunda derivada anula em
, onde
Para
,
(côncavo para baixo); para
,
(côncavo para cima). Portanto ponto de inflexão em
.
Passo 5
Comportamento nas extremidades:
pois o termo dominante é
.
Com tudo isso, o esboço qualitativo fica assim:
– Cúbica que cresce para , chega ao máximo local em
, decresce até o mínimo local em
e cresce depois.
– Ponto de inflexão em , mudando de côncavo para baixo para côncavo para cima.
– Interceptos em e
.
– Cúbica que cresce para
– Ponto de inflexão em
– Interceptos em
Resposta
O gráfico de
é uma cúbica com esses pontos notáveis:
– Máximo local em
.
– Mínimo local em .
– Ponto de inflexão em .
– Interceptos em e
.
– Cresce em , decresce em
, cresce em
.
– Concavidade para baixo em e para cima em
.
– Mínimo local em
– Ponto de inflexão em
– Interceptos em
– Cresce em
– Concavidade para baixo em
Com isso, basta traçar e conectar suavemente esses pontos respeitando as concavidades para obter o esboço.