Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 sen pin

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1sin!l(tfracpinr)
O conteúdo é o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas coisas sobre os termos
an=sin!l(tfracpinr):
  1. an>0 para todo n.
  2. an é monótona decrescente a partir de algum índice e limntoinftyan=0.

Passo 2

Verificamos o limite dos termos:
limntoinftysin!l(tfracpinr) =sin!l(limntoinftytfracpinr) =sin(0) =0
Logo, anto0.

Passo 3

Mostramos que an=sin!l(tfracpinr) é decrescente para n>=2.
Para x>1 defina f(x)=sin!l(tfracpixr).
A derivada é
f'(x) =cos!l(tfracpixr),l(-tfracpix^2r) =-pix^2cos!l(tfracpixr)
Para x>=2 temos tfracpixin(0,tfracpi2], onde cos(cdot)>0. Assim f'(x)<0 para x>=2, isto é, f decresce em [2,infty). Logo ann>=2 é decrescente.

Passo 4

Todos os termos de índice a partir de 2 são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, a série
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente) pelo critério de Leibniz.

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