Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
O conteúdo é o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas coisas sobre os termos
:
-
para todo . -
é monótona decrescente a partir de algum índice e .
Passo 2
Verificamos o limite dos termos:
Logo,
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
.
Para defina
.
A derivada é
Para
A derivada é
Para
temos
, onde
. Assim
para
, isto é,
decresce em
. Logo
é decrescente.
Passo 4
Todos os termos de índice a partir de 2 são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, a série
converge.
Resposta
A série converge (condicionalmente) pelo critério de Leibniz.