Resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
\mathrm{y}^{\prime}=\frac{3 x^{2}-1}{3+2 y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^2 - 13 + 2y
e pede a sua solução geral. Reconhecemos que é uma EDO separável, ou seja, podemos isolar os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y),dx:
(3 + 2y),dy = (3x^2 - 1),dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral (3 + 2y),dy = integral (3x^2 - 1),dx
No lado esquerdo temos
integral 3,dy + integral 2y,dy = 3y + y^2,
e no direito
integral 3x^2,dx + integral(-1),dx = x^3 - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as primitivas obtemos a relação implícita
y^2 + 3y = x^3 - x + C

Passo 5

Para expor y de forma explícita, vemos que isso é uma equação quadrática em y:
y^2 + 3y - l(x^3 - x + Cr) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = -3 pm raiz3^2 + 4,(x^3 - x + C)2 = -3 pm raiz9 + 4x^3 - 4x + 4C2

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
y^2 + 3y = x^3 - x + C
ou explicitamente por
y(x) = -3 pm raiz9 + 4,l(x^3 - x + Cr)2,
onde C é a constante de integração.

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