Esboce o gráfico.
y= x^2 & se x <= 1 2-(x-2)^2 & se x>1

Passo 1

Resumindo: temos uma função definida por partes
y = x^2, & x<=1, 2-(x-2)^2, & x>1
O conteúdo aqui é esboçar funções polinomiais (parábolas) em domínios diferentes e entender onde elas se encontram.

Passo 2

Analisando o ramo para x<=1:
– É a parábola y=x^2, que abre para cima, com vértice em (0,0).
– Em x=1 temos y=1^2=1, este ponto faz parte do gráfico (fechado em (1,1)).
– Para xto-infty, yto+infty, então o ramo vai subindo à esquerda.

Passo 3

Analisando o ramo para x>1:
– É a parábola y=2-(x-2)^2, que abre para baixo, com vértice em (2,2).
– Em x=1 a fórmula dá y=2-(1-2)^2=1, mas como x>1 este ponto não está incluído (circulinho aberto em (1,1)).
– Para xtopminfty, yto-infty, então o ramo desce para os dois lados a partir de (2,2).

Passo 4

Verificando a conexão em x=1:
limxto1^-x^2=1, limxto1^+l(2-(x-2)^2r)=1
Ambos os limites coincidem em 1, mas o ponto em x=1 pertence só ao primeiro ramo (fechado) e está aberto no segundo.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Para x<=1, desenhe a parábola ascendente y=x^2 até o ponto (1,1) marcado com ponto fechado.
– Para x>1, desenhe a parábola invertida y=2-(x-2)^2 começando em (1,1) com círculo aberto, atingindo o vértice em (2,2) e depois decrescendo.

Resposta

O esboço é a união da parábola ascendente y=x^2 em x<=1 (fechada em (1,1)) com a parábola descendente y=2-(x-2)^2 em x>1 (aberta em (1,1)), vértice desta segunda em (2,2).

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