Use a associatividade e a comutatividade da multiplicação para mostrar que
\left(z_{1} z_{2}\right)\left(z_{3} z_{4}\right)=\left(z_{1} z_{3}\right)\left(z_{2} z_{4}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\left(z_{1} z_{2}\right)\left(z_{3} z_{4}\right)=\left(z_{1} z_{3}\right)\left(z_{2} z_{4}\right).
Informações dadas (que devemos usar): a multiplicação é associativa e comutativa. Vou listar essas propriedades de forma clara:
  • Associatividade: para quaisquer três elementos a,b,c vale (ab)c=a(bc).
  • Comutatividade: para quaisquer dois elementos a,b vale ab=ba.

Passo 2

Usando associatividade para remover/reorganizar parênteses: a associatividade permite mudar o modo de agrupar produtos de vários fatores sem alterar o resultado. Portanto podemos reescrever o produto de quatro fatores como uma cadeia sem ambiguidade de parênteses. Em particular,
\left(z_{1} z_{2}\right)\left(z_{3} z_{4}\right)=\bigl((z_{1} z_{2}) z_{3}\bigr) z_{4}.
Isto é apenas uma aplicação da associatividade: (ab)(cd)=((ab)c)d.

Passo 3

Escrever o produto de quatro fatores de forma compacta: pela associatividade repetida podemos interpretar a expressão anterior como o produto de quatro fatores em sequência, sem nos preocupar com parênteses:
\bigl((z_{1} z_{2}) z_{3}\bigr) z_{4}=z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}.
Aqui a notação z_{1} z_{2} z_{3} z_{4} significa que os fatores estão multiplicados em sequência; a associatividade garante que isto é bem definido.

Passo 4

Aplicar a comutatividade para trocar a ordem de dois fatores: como a multiplicação é comutativa, podemos trocar z_{2} e z_{3} sem alterar o produto. Assim
z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}=z_{1} z_{3} z_{2} z_{4}.
(Explicação: usando z_{2}z_{3}=z_{3}z_{2} dentro da cadeia z_{1} (z_{2} z_{3}) z_{4}.)

Passo 5

Voltar a agrupar os fatores para obter o lado desejado: agora, usando novamente associatividade para recolocar parênteses de forma conveniente,
z_{1} z_{3} z_{2} z_{4}=\bigl((z_{1} z_{3}) z_{2}\bigr) z_{4}=(z_{1} z_{3}) (z_{2} z_{4}).
A última igualdade usa associatividade duas vezes: primeiro para agrupar (z_{1} z_{3}) z_{2} e depois para unir z_{2} z_{4} como um fator.

Passo 6

Juntando os passos anteriores temos a cadeia de igualdades
\left(z_{1} z_{2}\right)\left(z_{3} z_{4}\right)=z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}=z_{1} z_{3} z_{2} z_{4}=(z_{1} z_{3})(z_{2} z_{4}),
o que prova a identidade pedida.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar a ideia): escolha z_{1}=2, z_{2}=3, z_{3}=5, z_{4}=7. Então
(2\cdot3)(5\cdot7)=6\cdot35=210
e
(2\cdot5)(3\cdot7)=10\cdot21=210,
mostrando concretamente que os dois lados coincidem.

Resposta

\left(z_{1} z_{2}\right)\left(z_{3} z_{4}\right)=\left(z_{1} z_{3}\right)\left(z_{2} z_{4}\right)

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