Use a associatividade e a comutatividade da multiplicação para mostrar que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas (que devemos usar): a multiplicação é associativa e comutativa. Vou listar essas propriedades de forma clara:
- Associatividade: para quaisquer três elementos
vale . - Comutatividade: para quaisquer dois elementos
vale .
Passo 2
Usando associatividade para remover/reorganizar parênteses: a associatividade permite mudar o modo de agrupar produtos de vários fatores sem alterar o resultado. Portanto podemos reescrever o produto de quatro fatores como uma cadeia sem ambiguidade de parênteses. Em particular,
Isto é apenas uma aplicação da associatividade:
.
Passo 3
Escrever o produto de quatro fatores de forma compacta: pela associatividade repetida podemos interpretar a expressão anterior como o produto de quatro fatores em sequência, sem nos preocupar com parênteses:
Aqui a notação
significa que os fatores estão multiplicados em sequência; a associatividade garante que isto é bem definido.
Passo 4
Aplicar a comutatividade para trocar a ordem de dois fatores: como a multiplicação é comutativa, podemos trocar
e
sem alterar o produto. Assim
(Explicação: usando
dentro da cadeia
.)
Passo 5
Voltar a agrupar os fatores para obter o lado desejado: agora, usando novamente associatividade para recolocar parênteses de forma conveniente,
A última igualdade usa associatividade duas vezes: primeiro para agrupar
e depois para unir
como um fator.
Passo 6
Juntando os passos anteriores temos a cadeia de igualdades
o que prova a identidade pedida.
Passo 7
Exemplo numérico (para fixar a ideia): escolha
,
,
,
. Então
e
mostrando concretamente que os dois lados coincidem.