Esboce os gráficos abaixo
y=-raizx^2 / 4-1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar o gráfico da função y = -raizx^2/4 - 1. Isso envolve estudar domínio, zero(s), comportamento para grandes |x| e assimptotas, e então fazer o desenho.

Passo 2

Para ter a raiz real, precisamos de x^2/4 - 1 >= 0. Ou seja, x^2 >= 4 o que dá |x| >= 2. Então o domínio é ( -infty,-2 ] cup [2,infty ).

Passo 3

No limite de fronteira do domínio, em x=pm 2, temos y = -raiz(pm2)^2/4 - 1 = -raiz1 -1 = 0. Logo o gráfico toca o eixo x nos pontos (-2,0) e (2,0).

Passo 4

Para entender o comportamento quando xtopminfty, note que raizx^2/4 -1 = |x|2raiz1 - 4x^2 approx |x|2. Logo, para xto+infty temos yapprox -x/2 (assimptota reta y=-x/2) e para xto-infty temos yapprox -|x|/2 = x/2 (assimptota reta y=x/2).

Passo 5

Como y é sempre não positivo (temos sinal negativo fora da raiz), o gráfico consiste nas duas “metades” inferiores de um ramo de hipérbole: uma para x<=-2 e outra para x>=2, partindo de (pm2,0) e descendo em direção às retas assimptóticas descritas.

Passo 6

Com essas informações fica fácil esboçar: dois ramos simétricos abaixo do eixo x, tocando em (-2,0) e (2,0), aproximando-se das linhas y=x/2 (ramo esquerdo) e y=-x/2 (ramo direito) à medida que |x| cresce.

Resposta

Gráfico formado pelos ramos inferiores da hipérbole x^2/4 - y^2=1, definidos para x<=-2 e x>=2, passando por (-2,0) e (2,0), e com assimptotas y=x/2 (x→−∞) e y=−x/2 (x→+∞).

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