Esboce os gráficos no mesmo desenho:
a) y=|x|, y=|x+1|, y=|x-1|
b) y=|x|, y=2|x|, y=|x|2
c) y=cos (x), y=cos (2 x), y=cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no mesmo sistema de eixos três famílias de funções: na parte (a) funções valor absoluto deslocadas; na (b) valor absoluto com diferentes coeficientes de inclinação; na © cossenos com frequências crescentes. Vamos usar conceitos de transformação de gráficos (translação horizontal e estiramento/compactação) e de período de funções trigonométricas.

Passo 2

Para a parte (a), começamos pela função básica y=|x|, que é um “V” com vértice em (0,0) e retas de inclinação +1 à direita e –1 à esquerda. Depois:
  • y=|x+1| é o mesmo “V” deslocado 1 unidade para a esquerda. O vértice fica em (-1,0).
  • y=|x-1| é o mesmo “V” deslocado 1 unidade para a direita. O vértice fica em (1,0).
    Marque esses três vértices e trace as retas com inclinação ±1 para cada um.

Passo 3

Na parte (b), partimos de y=|x| e aplicamos estiramentos verticais:
  • y=2|x| estica o “V”, dobrando suas inclinações: +2 à direita e –2 à esquerda.
  • y=tfrac12|x| comprime verticalmente, reduzindo as inclinações a +1/2 e –1/2.
    Desenhe todos sobrepostos, partindo do mesmo vértice (0,0).

Passo 4

Na parte ©, a função básica y=cos x tem período 2pi e amplitude 1. Para modificá-la:
  • y=cos(2x) duplica a frequência, reduzindo o período para pi.
  • y=cos(4x) quadruplica a frequência, período tfracpi2.
    Em um mesmo eixo horizontal (por exemplo de -2pi até 2pi), desenhe as três curvas, todas com amplitude 1, mas com números de ondas dobrando a cada vez.
    Concluindo, marcamos pontos chave (máximos em 1, zeros, mínimos em –1) e ligamos suavemente para cada período.

Resposta

a) Três gráficos em “V” com vértices em (-1,0), (0,0) e (1,0), todos com inclinações ±1.
b) Três “V” sobrepostos no vértice (0,0) com inclinações ±1/2 (mais raso), ±1 (original) e ±2 (mais íngreme).
c) Três ondas de cosseno com mesma amplitude 1 e períodos 2π ( cos x), π ( cos2x) e π/2 ( cos4x).

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