Questão 2. (35 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
Sabemos que sua solução geral é da forma:
, onde
são soluções fundamentais da equação homogênea associada,
é alguma solução particular de (1) e
são constantes arbitrárias. Também sabemos pelo Teorema de Abel que o Wronskiano de duas soluções fundamentais satisfaz (veja o formulário no final)
Use o Teorema de Abel (2) para encontrar a segunda solução da EDO homogênea (Resposta:
).
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a segunda solução fundamental da EDO homogênea
t^2 y’’ - t(t+2)y’ + (t+2)y = 0,
usando o Teorema de Abel e redução de ordem, sabendo que y₁(t)=t.
Passo 2
Reescrever a equação dividindo por t² para obter a forma padrão
y’’ - \frac{t+2}{t},y’ + \frac{t+2}{t^2},y = 0.
Passo 3
Identificar o coeficiente p(t) na forma padrão como
p(t) = -\frac{t+2}{t}
e aplicar o Teorema de Abel:
W(t) = \exp\Bigl(-\int p(t),dt\Bigr)
Calcular o integral
-\int p(t),dt = \int \frac{t+2}{t},dt = t + 2\ln|t|.
Passo 4
Obter o Wronskiano através de
W(t) = e^{t + 2\ln t} = t^2 e^t.
Passo 5
Aplicar redução de ordem definindo y₂ = y₁·v e usando que W = y₁² v’, ou seja,
v’(t) = \frac{W(t)}{y₁(t)^2}.
Passo 6
Substituir y₁(t)=t e W(t)=t²eᵗ em v’:
v’(t) = \frac{t^2 et}{t2} = e^t
Integrar para obter v:
v(t) = \int e^t,dt = e^t.
Passo 7
Construir a segunda solução fundamental:
y₂(t) = y₁(t),v(t) = t e^t.
Resposta
y₂(t)=t e^t