Questão 2. (35 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
t^2 y^prime prime-t(t+2) y^prime+(t+2) y=t^3 e^-t
Sabemos que sua solução geral é da forma: y(t)=C1 y1(t)+C2 y2(t)+Y(t), onde y1 e y2 são soluções fundamentais da equação homogênea associada, Y(t) é alguma solução particular de (1) e C1, C2 são constantes arbitrárias. Também sabemos pelo Teorema de Abel que o Wronskiano de duas soluções fundamentais satisfaz (veja o formulário no final)
W(y1, y2)=y1(t) y2^prime(t)-y1^prime(t) y2(t)=exp (-integral p(t) d t)
Use o Teorema de Abel (2) para encontrar a segunda solução da EDO homogênea (Resposta: y2(t)=t e^t ).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a segunda solução fundamental da EDO homogênea
t^2 y’’ - t(t+2)y’ + (t+2)y = 0,
usando o Teorema de Abel e redução de ordem, sabendo que y₁(t)=t.

Passo 2

Reescrever a equação dividindo por t² para obter a forma padrão
y’’ - \frac{t+2}{t},y’ + \frac{t+2}{t^2},y = 0.

Passo 3

Identificar o coeficiente p(t) na forma padrão como
p(t) = -\frac{t+2}{t}
e aplicar o Teorema de Abel:
W(t) = \exp\Bigl(-\int p(t),dt\Bigr)
Calcular o integral
-\int p(t),dt = \int \frac{t+2}{t},dt = t + 2\ln|t|.

Passo 4

Obter o Wronskiano através de
W(t) = e^{t + 2\ln t} = t^2 e^t.

Passo 5

Aplicar redução de ordem definindo y₂ = y₁·v e usando que W = y₁² v’, ou seja,
v’(t) = \frac{W(t)}{y₁(t)^2}.

Passo 6

Substituir y₁(t)=t e W(t)=t²eᵗ em v’:
v’(t) = \frac{t^2 et}{t2} = e^t
Integrar para obter v:
v(t) = \int e^t,dt = e^t.

Passo 7

Construir a segunda solução fundamental:
y₂(t) = y₁(t),v(t) = t e^t.

Resposta

y₂(t)=t e^t

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