Questão 2. (35 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
Sabemos que sua solução geral é da forma: , onde são soluções fundamentais da equação homogênea associada, é alguma solução particular de (1) e são constantes arbitrárias. Também sabemos pelo Teorema de Abel que o Wronskiano de duas soluções fundamentais satisfaz (veja o formulário no final)
Pelo método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular de (1).
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO de segunda ordem não homogênea\n\n\n
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t^{2} y’’ - t(t+2) y’ + (t+2) y = t^{3} e^{-t}
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O objetivo é usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular Y(t). Vamos precisar escrever a equação na forma padrão, achar duas soluções fundamentais y₁,y₂ da homogênea, calcular o Wronskiano e aplicar a fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão: dividimos tudo por t², obtendo
Aqui identificamos
Passo 3
Encontrando as soluções da homogênea: tentamos uma solução do tipo y = t e^t. Calculando y’ e y’’ e substituindo mostra-se que
é solução. Para a segunda usamos redução de ordem ou testamos y = t, que também satisfaz a homogênea. Assim
Passo 4
Calculando o Wronskiano: definimos
Com y1 = t e^t, y1' = e^t(t+1), y2 = t, y2' = 1 vem
W(t) = t e^t - t,e^t(t+1) = -t^2 e^t
Passo 5
Aplicando variação de parâmetros: as fórmulas são
u1' = -y2,r(t)W(t), u2' = y1,r(t)W(t)
Substituindo r(t)=t e^-t e o Wronskiano:
u1' = -tcdot t e^-t-t^2 e^t = e^-2t, u2' = t e^tcdot t e^-t-t^2 e^t = -e^-t
Integramos:
u1 = integral e^-2tdt = -tfrac12 e^-2t, u2 = integral -e^-tdt = e^-t
Passo 6
Montando a solução particular: usamos
$$Y(t) = u_1(t)y_1(t) + u_2(t)y_2(t).
$$
Logo
$$Y(t) = \Bigl(-\tfrac12 e^{-2t}\Bigr),(t e^t) + (e^{-t}),t = -\tfrac12 t e^{-t} + t e^{-t} = \tfrac12 t e^{-t}.