Esboce os gráficos no mesmo desenho:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar, no mesmo sistema de eixos, quatro conjuntos de funções: (a) três traduções de y=|x|, (b) três dilatações verticais de y=|x|, © três cossenos com frequências diferentes e (d) três senos com frequências diferentes. Vamos usar teoria de transformações de funções: translações horizontais, estiramentos/compressões verticais e mudanças de período em funções trigonométricas.
Passo 2
Para o item (a), começamos com y=|x|, que é um “V” com vértice em (0,0) e ramos de inclinações ±1. A transformação y=|x+1| desloca esse V para a esquerda em 1 unidade, colocando o vértice em (-1,0). A transformação y=|x-1| desloca o V para a direita em 1 unidade, colocando o vértice em (1,0). Assim, no mesmo gráfico teremos três Vs: um em x=0, um em x=-1 e um em x=1.
Passo 3
No item (b), mantemos y=|x| como referência. Para y=2|x| fazemos uma dilatação vertical de fator 2, dobrando as alturas e deixando os ramos com inclinação ±2 (V mais “estreito”). Para y=|x|/2 fazemos uma compressão vertical de fator 1/2, reduzindo as alturas e deixando os ramos com inclinação ±0,5 (V mais “largo”).
Passo 4
No item ©, y=cos(x) é a curva cosseno padrão com período 2π. Para y=cos(2x) a frequência dobra e o período cai para π (aparecem duas oscilações em [0,2π]). Para y=cos(4x) a frequência é quatro vezes maior e o período vale π/2 (quatro oscilações em [0,2π]). No esboço, basta desenhar as ondas com ciclo mais rápido conforme aumenta o coeficiente de x.
Passo 5
No item (d), y=sen(x) tem período 2π. Em y=sen(x/2) o argumento cresce mais devagar, dobrando o período para 4π (meia frequência) e em y=sen(x/4) o período dobra novamente para 8π. No esboço, as ondas ficam cada vez mais “esticadas” horizontalmente à medida que reduzimos o coeficiente de x.
Passo 6
Em todos os casos, marcamos pontos-chave (vértices ou zeros e máximos/mínimos) e traçamos as curvas correspondentes, cuidando de manter proporção e simetria.
Resposta
a) Três Vs: y=|x| com vértice em (0,0), y=|x+1| deslocado para vértice em (-1,0) e y=|x-1| em (1,0). b) Três Vs com mesma forma, mas y=2|x| é mais “estreito” (ramos ±2) e y=|x|/2 é mais “largo” (ramos ±0,5). c) y=cos(x) com período 2π, y=cos(2x) com período π (duas ondas em [0,2π]), y=cos(4x) com período π/2 (quatro ondas em [0,2π]). d) y=sen(x) com período 2π, y=sen(x/2) com período 4π (onda esticada), y=sen(x/4) com período 8π (ainda mais esticada).