Verifique se as seguintes funções são constantes:
a) f(x)=1x+x-1x
b) f(x)=x|x|-|x|x

Passo 1

Aqui a ideia é verificar se as funções dadas não dependem de x, ou seja, se elas podem ser simplificadas numa constante. O conteúdo envolve simplificação algébrica de expressões racionais e uso de valor absoluto.

Passo 2

Para a função f(x)=1x+x-1x, note que podemos juntar as frações, pois têm o mesmo denominador.
1x+x-1x=1+(x-1)x=xx=1
Isso vale para todo xneq0. Logo, f(x)=1 é constante no domínio.

Passo 3

Agora para f(x)=x|x|-|x|x, analisamos os sinais de x: se x>0, então |x|=x e
x|x|-|x|x=xx-xx=1-1=0
Se x<0, então |x|=-x e
x|x|-|x|x=x-x--xx=-1-(-1)=0
Em ambos os casos f(x)=0 para xneq0, ou seja, é constante também.

Resposta

a) f(x)=1, constante; b) f(x)=0, constante.

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