Mostre, usando o princípio de indução, que:
2 cdot 1+2 cdot 2+2 cdot 3+cdots+2 n=n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que a soma dos termos 2·1, 2·2, …, 2·n é igual a n² + n. O conteúdo aqui é soma de séries aritméticas e vamos precisar aplicar o princípio de indução matemática, verificando o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base n = 1. A soma tem só um termo:
2cdot1 = 2
O lado direito da identidade para n = 1 é
1^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Portanto, para n = 1 a fórmula vale, pois 2 = 2.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k ≥ 1 vale
sumi=1^k 2i = k^2 + k
Então, para n = k + 1 temos
sumi=1^k+1 2i = l(sumi=1^k 2ir) + 2(k+1)
Pela hipótese indutiva, substituímos a soma até k:
= (k^2 + k) + 2(k+1) = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2
Agora fatoramos k² + 3k + 2:
k^2 + 3k + 2 = (k+1)^2 + (k+1)
Isso mostra que, se a fórmula vale para k, ela também vale para k + 1.

Resposta

Pelo princípio de indução, a igualdade 2·1 + 2·2 + ⋯ + 2·n = n² + n vale para todo n ∈ ℕ.

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