Mostre, usando o princípio de indução, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio de indução, que a soma dos termos 2·1, 2·2, …, 2·n é igual a n² + n. O conteúdo aqui é soma de séries aritméticas e vamos precisar aplicar o princípio de indução matemática, verificando o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos o caso base n = 1. A soma tem só um termo:
O lado direito da identidade para n = 1 é
Portanto, para n = 1 a fórmula vale, pois 2 = 2.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum k ≥ 1 vale
Então, para n = k + 1 temos
Pela hipótese indutiva, substituímos a soma até k:
Agora fatoramos k² + 3k + 2:
Isso mostra que, se a fórmula vale para k, ela também vale para k + 1.
Resposta
Pelo princípio de indução, a igualdade 2·1 + 2·2 + ⋯ + 2·n = n² + n vale para todo n ∈ ℕ.