Mostre, usando o princípio de indução, que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente mostrar, usando o princípio da indução, que para todo número inteiro $ n $ maior ou igual a 3, a inequação $ n^{2} > 2n + 1 $ é verdadeira. O que a gente vai precisar é entender o que é o princípio da indução matemática e como aplicá-lo passo a passo para provar essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a inequação funciona para o menor valor de $ n $ que a gente quer testar, que é $ n = 3 $. Isso é o que chamamos de caso base na indução.
Vamos calcular:
Então,
O que está certo, né? Isso significa que nosso caso base funciona para $ n = 3 $.
Passo 3
Agora, vamos para a parte da indução. A ideia aqui é a seguinte: assumimos que a inequação é verdadeira para algum número inteiro $ k $ maior ou igual a 3, ou seja, assumimos que:
Essa é nossa hipótese de indução.
Passo 4
Com base nessa hipótese, queremos provar que a inequação também é verdadeira para $ k + 1 $, ou seja, queremos mostrar que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
E o lado direito:
Então, queremos provar que:
Passo 5
Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraímos $ 2k + 3 $ de ambos os lados:
Isso fica:
Ou seja:
Passo 6
Sabemos que para todo $ k \geq 3 $, $ k^{2} $ é definitivamente maior que 2, porque $ 3^{2} = 9 > 2 $ e quanto maior for $ k $, maior será $ k^{2} $. Portanto, a desigualdade $ k^{2} > 2 $ é verdadeira para todo $ k \geq 3 $.
Isso confirma que, se a inequação é verdadeira para $ k $, ela também é verdadeira para $ k + 1 $.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução matemática, a inequação $ n^{2} > 2n + 1 $ é verdadeira para todo número inteiro $ n \geq 3 $.