Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
A questão pede o esboço do gráfico de f(x)=(x+5)^{4} -3, usando transformações de funções polinomiais de quarto grau.
Começamos lembrando a forma básica da função g(x)=x^{4}. Ela é uma curva em “U” mais achatada que x^{2}, tem simetria par em relação ao eixo y, ponto mínimo em (0,0) e cresce para +∞ em ambas as direções.
Começamos lembrando a forma básica da função g(x)=x^{4}. Ela é uma curva em “U” mais achatada que x^{2}, tem simetria par em relação ao eixo y, ponto mínimo em (0,0) e cresce para +∞ em ambas as direções.
Passo 2
Para obter h(x)=(x+5)^{4}, fazemos o deslocamento horizontal de g(x) cinco unidades para a esquerda. Cada ponto (a,b) de g vira (a−5,b). O ponto mínimo passa de (0,0) para (−5,0).
Passo 3
Agora aplicamos a quarta de f: a subtração de 3 em f(x)=h(x)−3 faz um deslocamento vertical de h para baixo em 3 unidades. O ponto mínimo vai de (−5,0) para (−5,−3).
Concluímos que f(x) tem ponto de mínimo em (−5,−3), é simétrica em relação à reta x=−5, cresce para +∞ quando x→±∞ e não possui outras interseções além da ordenada y quando x=−5.
Concluímos que f(x) tem ponto de mínimo em (−5,−3), é simétrica em relação à reta x=−5, cresce para +∞ quando x→±∞ e não possui outras interseções além da ordenada y quando x=−5.
Passo 4
Para esboçar, marcamos o vértice (−5,−3) e desenhamos dois ramos suaves subindo de forma semelhante ao x^{4}, com base na simetria e no comportamento de crescimento rápido.
O domínio de f é todos os reais e a imagem é [−3, +∞).
No esboço, a curva forma uma “U” bem aberta centrada em x=−5 e deslocada para baixo em 3 unidades.
O domínio de f é todos os reais e a imagem é [−3, +∞).
No esboço, a curva forma uma “U” bem aberta centrada em x=−5 e deslocada para baixo em 3 unidades.
Resposta
O gráfico é a curva do quarto grau f(x)=(x+5)^{4}−3, que se obtém de y=x^{4} deslocando-a 5 unidades para a esquerda e 3 unidades para baixo; tem vértice em (−5,−3), simetria em torno de x=−5, cresce para +∞ nos dois lados, domínio ℝ e imagem [−3,+∞).