A função arco-seno, denotada por
, é a inversa da função seno quando restrita ao intervalo
. De maneira análoga temos a função arco-cosseno,
, inversa da função cosseno restrita ao intervalo
e a função arco-tangente,
, inversa da tangente restrita ao intervalo
.
Esboce os gráficos de arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente.
Esboce os gráficos de arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar os gráficos de três funções trigonométricas inversas: arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente. Vamos usar o fato de que elas são inversas das funções seno, cosseno e tangente em domínios restritos, conhecendo seus domínios, contradomínios, monotonicidade e pontos notáveis.
Passo 2
Para esboçar o gráfico de f(x)=arcsin
x, lembramos que ela é inversa de seno em [−π/2,π/2]. Então o domínio é [−1,1] e o contradomínio é [−π/2,π/2]. É função estritamente crescente, passa por (−1,−π/2), (0,0) e (1,π/2). O formato é uma curva que é ligeiramente côncava para x<0 e ligeiramente convexa para x>0.
x, lembramos que ela é inversa de seno em [−π/2,π/2]. Então o domínio é [−1,1] e o contradomínio é [−π/2,π/2]. É função estritamente crescente, passa por (−1,−π/2), (0,0) e (1,π/2). O formato é uma curva que é ligeiramente côncava para x<0 e ligeiramente convexa para x>0.
Passo 3
Para esboçar o gráfico de f(x)=arccos
x, lembramos que ela é inversa de cosseno em [0,π]. Então o domínio é [−1,1] e o contradomínio é [0,π]. É função estritamente decrescente, passa por (−1,π), (0,π/2) e (1,0). O formato é uma curva suave que desce de π até 0.
x, lembramos que ela é inversa de cosseno em [0,π]. Então o domínio é [−1,1] e o contradomínio é [0,π]. É função estritamente decrescente, passa por (−1,π), (0,π/2) e (1,0). O formato é uma curva suave que desce de π até 0.
Passo 4
Para esboçar o gráfico de f(x)=arctan
x, lembramos que ela é inversa de tangente em (−π/2,π/2). Então o domínio é ℝ e o contradomínio é (−π/2,π/2). É função estritamente crescente, ímpar (simétrica em relação à origem), passa por (0,0) e possui assíntotas horizontais y=π/2 quando x→+∞ e y=−π/2 quando x→−∞.
x, lembramos que ela é inversa de tangente em (−π/2,π/2). Então o domínio é ℝ e o contradomínio é (−π/2,π/2). É função estritamente crescente, ímpar (simétrica em relação à origem), passa por (0,0) e possui assíntotas horizontais y=π/2 quando x→+∞ e y=−π/2 quando x→−∞.
Passo 5
No esboço, marque os pontos e assíntotas: para arcsin e arccos, desenhe apenas entre x=−1 e x=1; para arctan, estenda para todo x e indique as assíntotas horizontais. Assim temos os três gráficos desejados.
Resposta
Os esboços são:
-
arcsin x: domínio [−1,1], contradomínio [−π/2,π/2], curva crescente passando por (−1,−π/2), (0,0) e (1,π/2).
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arccos x: domínio [−1,1], contradomínio [0,π], curva decrescente passando por (−1,π), (0,π/2) e (1,0).
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arctan x: domínio ℝ, contradomínio (−π/2,π/2), curva crescente ímpar passando por (0,0) e com assíntotas horizontais y=±π/2.