Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral0^1 1x^2+2 x+1 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de 1/(x^2+2x+1) usando frações parciais. O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômios e integração de potências.

Passo 2

Observe que x^2+2x+1 é um quadrado perfeito:
x^2+2x+1=(x+1)^2
Então podemos reescrever a integral como
integral0^11(x+1)^2,dx

Passo 3

Para integrar, usamos a forma integral u^n,du = u^n+1/(n+1). Fazendo a substituição u=x+1, temos du=dx e a integral vira
integral (u)^-2,du
A primitiva é
integral u^-2,du = -u^-1 + C = -1u + C

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva nos limites originais. Voltando a x, temos
F(x) = -1x+1
Então
integral0^11(x+1)^2,dx = F(1) - F(0) = l(-12r) - l(-1r) = -12 + 1 = 12

Resposta

12

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