Encontre o domínio das funções
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta por uma raiz quadrada
no denominador. - É preciso determinar para quais valores de
a expressão faz sentido como número real e não gera divisão por zero.
Passo 2
Condições que precisam ser satisfeitas para
ser bem definida como número real:
- A raiz quadrada deve ser definida sobre os reais: isso exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
Ou seja, deve valer. - Além disso, o radicando aparece no denominador: não é permitida divisão por zero. Logo, o radicando não pode ser zero.
Ou seja, deve valer.
Combinando (1) e (2) obtemos a condição necessária e suficiente
Passo 3
Resolver a desigualdade
.
Primeiro fatoramos a expressão:
Primeiro fatoramos a expressão:
Os pontos críticos (zeros) são
e
. Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos.
Passo 4
Análise por intervalos:
- Para
(por exemplo ): . Então a desigualdade é satisfeita. - Para
(por exemplo ): . Não satisfaz a desigualdade. - Para
(por exemplo ): . Satisfaz a desigualdade.
Portanto a solução da desigualdade
é
Passo 5
Outra forma rápida (útil na prova):
é equivalente a
, que por definição absoluta é
. Daí vem diretamente
ou
.
Passo 6
Interpretação final: os pontos
e
não pertencem ao domínio porque em ambos o radicando é zero e resultaríamos em divisão por zero. Todos os
com
são válidos porque a raiz é real e não nula, e o denominador fica bem definido.