Encontre o domínio das funções \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
h(x)=\frac{1}{\sqrt[2]{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
h(x)=\frac{1}{\sqrt[2]{x^{2}-1}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta por uma raiz quadrada \sqrt[2]{x^{2}-1} no denominador.
  • É preciso determinar para quais valores de x a expressão faz sentido como número real e não gera divisão por zero.

Passo 2

Condições que precisam ser satisfeitas para h(x) ser bem definida como número real:
  1. A raiz quadrada deve ser definida sobre os reais: isso exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
    Ou seja, deve valer \;x^{2}-1 \ge 0.
  2. Além disso, o radicando aparece no denominador: não é permitida divisão por zero. Logo, o radicando não pode ser zero.
    Ou seja, deve valer \;x^{2}-1 \neq 0.
Combinando (1) e (2) obtemos a condição necessária e suficiente
x^{2}-1>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade \;x^{2}-1>0.
Primeiro fatoramos a expressão:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Os pontos críticos (zeros) são x=-1 e x=1. Vamos analisar o sinal de (x-1)(x+1) em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 4

Análise por intervalos:
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2): (x-1)(x+1)=(-3)(-1)=3>0. Então a desigualdade é satisfeita.
  • Para -1<x<1 (por exemplo x=0): (x-1)(x+1)=(-1)(1)=-1<0. Não satisfaz a desigualdade.
  • Para x>1 (por exemplo x=2): (x-1)(x+1)=(1)(3)=3>0. Satisfaz a desigualdade.
Portanto a solução da desigualdade \;x^{2}-1>0 é
x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Outra forma rápida (útil na prova): \;x^{2}-1>0 é equivalente a \;x^{2}>1, que por definição absoluta é \;|x|>1. Daí vem diretamente x<-1 ou x>1.

Passo 6

Interpretação final: os pontos x=-1 e x=1 não pertencem ao domínio porque em ambos o radicando é zero e resultaríamos em divisão por zero. Todos os x com |x|>1 são válidos porque a raiz é real e não nula, e o denominador fica bem definido.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(1,\infty)

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