Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(b) g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}
Indique domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico da função g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}.
  • Indicar o domínio e a imagem (contracheque final do conjunto de valores possíveis de x e de g(x)).
Informações oferecidas explicitamente:
  • A função é g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}.
O que será entregue a seguir: explicação passo a passo das propriedades que determinam o formato do gráfico, pontos importantes a plotar, comportamento nas extremidades, monotonicidade e concavidade, e instruções práticas para esboçar à mão (sem usar calculadora).

Passo 2

Entendendo a forma da função exponencial: uma função exponencial tem a forma geral h(x)=b^{x}, onde b>0 é a base. A base controla se a função cresce ou decresce:
  • Se b>1, h é crescente.
  • Se 0<b<1, h é decrescente.
Aqui a base é b=\dfrac{1}{2}, que satisfaz 0<b<1. Conclusão imediata: g(x) é uma função exponencial decrescente.
Além disso vale a identidade útil
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=2^{-x},
o que às vezes facilita visualizar comportamento (é o reflexo de 2^{x} em relação ao eixo y).

Passo 3

Calcule pontos-chave que vão ajudar no esboço (faça isso na prova: sempre plote alguns pontos conhecidos).
  • Para x=0:
g(0)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}=1.
Isso dá o intercepto com o eixo y: o ponto (0,1).
  • Para x=1:
g(1)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}=\dfrac{1}{2}.
Ponto (1,\tfrac{1}{2}).
  • Para x=2:
g(2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
Ponto (2,\tfrac{1}{4}).
  • Para x=-1:
g(-1)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=2.
Ponto (-1,2).
Esses quatro pontos já dão uma boa “moldura” do esboço: à direita de x=0 os valores diminuem rapidamente; à esquerda de x=0 os valores aumentam (sem limite superior).

Passo 4

Comportamento nas extremidades (limites), que mostra a assíntota horizontal:
  • Para x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=0.
Ou seja, a curva aproxima-se de y=0 quando x cresce, sem nunca tocar o eixo x.
  • Para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=+\infty.
Portanto a função cresce indefinidamente quando x vai para a esquerda (valores negativos grandes em módulo).
Daqui decorre que existe uma assíntota horizontal y=0 (o eixo x), que nunca é atingida.

Passo 5

Mostrando monotonicidade por derivada (útil para justificar decrescente rigorosamente):
Calcule a derivada de g. Se g(x)=b^{x} então g'(x)=\ln(b)\,b^{x}. Aplicando aqui com b=\dfrac{1}{2}:
g'(x)=\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}.
Como \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)<0 e \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}>0 para todo x, conclui-se que g'(x)<0 para todo x. Logo g é estritamente decrescente em (-\infty,\infty).

Passo 6

Concavidade (segunda derivada) — para desenhar a curvatura correta:
A segunda derivada é
g''(x)=\left(\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}.
Aqui \left(\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)^{2}>0 e \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}>0, então g''(x)>0 para todo x. Isso significa que a curva é côncava para cima em toda parte (no jargão: “curva virada para cima”).
Resumo visual: função decrescente e côncava para cima, aproximando-se de y=0 quando x\to+\infty e crescendo sem limite quando x\to-\infty.

Passo 7

Interceptos e zeros:
  • Intercepto com eixo y: já achado, g(0)=1 → ponto (0,1).
  • Intercepto com eixo x (zero da função): resolver g(x)=0 não tem solução porque g(x)>0 para todo x. Conclusão: não há interseção com o eixo x.
  • Assíntota horizontal: y=0.

Passo 8

Instrução prática passo a passo para esboçar à mão (faça isto na prova em poucos minutos):
  1. Desenhe os eixos coordenados x (horizontal) e y (vertical).
  2. Marque a assíntota horizontal y=0 (eixo x) como uma linha guia — a curva vai se aproximar dela pela direita sem tocar.
  3. Plote os pontos calculados:
    • (-1,2),
    • (0,1),
    • (1,\tfrac{1}{2}),
    • (2,\tfrac{1}{4}).
  4. Ligue suavemente os pontos com uma curva que:
    • É estritamente decrescente (vai de cima à esquerda para baixo à direita),
    • É côncava para cima (a curva “abre” para cima),
    • Aproxima-se de y=0 à medida que x aumenta, e cresce muito quando x vai para a esquerda.
  5. Verifique: não desenhe a curva cruzando o eixo x; mantenha-a sempre positiva.
Se quiser comparar mentalmente, lembre-se que o gráfico de g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} é o reflexo horizontal do gráfico de 2^{x} (troca x por -x).

Passo 9

Resumo final das propriedades importantes (boas para decorar e usar rápido na prova):
  • Fórmula: g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=2^{-x}.
  • Dominio: todos os números reais.
  • Imagem: todos os reais positivos.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Intercepto em y: g(0)=1.
  • Monotonicidade: estritamente decrescente.
  • Concavidade: côncava para cima.

Resposta

Esboço: curva estritamente decrescente e côncava para cima que passa por (-1,2), (0,1), (1,\tfrac{1}{2}), (2,\tfrac{1}{4}), aproxima-se de y=0 quando x\to+\infty e cresce sem limite quando x\to-\infty.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: \left(0,+\infty\right).

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