Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(b)
Indique domínio e imagem.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Esboçar o gráfico da função
. - Indicar o domínio e a imagem (contracheque final do conjunto de valores possíveis de
e de ).
Informações oferecidas explicitamente:
- A função é
.
O que será entregue a seguir: explicação passo a passo das propriedades que determinam o formato do gráfico, pontos importantes a plotar, comportamento nas extremidades, monotonicidade e concavidade, e instruções práticas para esboçar à mão (sem usar calculadora).
Passo 2
Entendendo a forma da função exponencial: uma função exponencial tem a forma geral
, onde
é a base. A base controla se a função cresce ou decresce:
- Se
, é crescente. - Se
, é decrescente.
Aqui a base é
, que satisfaz
. Conclusão imediata:
é uma função exponencial decrescente.
Além disso vale a identidade útil
o que às vezes facilita visualizar comportamento (é o reflexo de
em relação ao eixo
).
Passo 3
Calcule pontos-chave que vão ajudar no esboço (faça isso na prova: sempre plote alguns pontos conhecidos).
- Para
:
Isso dá o intercepto com o eixo
: o ponto
.
- Para
:
Ponto
.
- Para
:
Ponto
.
- Para
:
Ponto
.
Esses quatro pontos já dão uma boa “moldura” do esboço: à direita de
os valores diminuem rapidamente; à esquerda de
os valores aumentam (sem limite superior).
Passo 4
Comportamento nas extremidades (limites), que mostra a assíntota horizontal:
- Para
:
Ou seja, a curva aproxima-se de
quando
cresce, sem nunca tocar o eixo
.
- Para
:
Portanto a função cresce indefinidamente quando
vai para a esquerda (valores negativos grandes em módulo).
Daqui decorre que existe uma assíntota horizontal
(o eixo
), que nunca é atingida.
Passo 5
Mostrando monotonicidade por derivada (útil para justificar decrescente rigorosamente):
Calcule a derivada de . Se
então
. Aplicando aqui com
:
Calcule a derivada de
Como
e
para todo
, conclui-se que
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
.
Passo 6
Concavidade (segunda derivada) — para desenhar a curvatura correta:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Aqui
e
, então
para todo
. Isso significa que a curva é côncava para cima em toda parte (no jargão: “curva virada para cima”).
Resumo visual: função decrescente e côncava para cima, aproximando-se de
quando
e crescendo sem limite quando
.
Passo 7
Interceptos e zeros:
- Intercepto com eixo
: já achado, → ponto . - Intercepto com eixo
(zero da função): resolver não tem solução porque para todo . Conclusão: não há interseção com o eixo . - Assíntota horizontal:
.
Passo 8
Instrução prática passo a passo para esboçar à mão (faça isto na prova em poucos minutos):
- Desenhe os eixos coordenados
(horizontal) e (vertical). - Marque a assíntota horizontal
(eixo ) como uma linha guia — a curva vai se aproximar dela pela direita sem tocar. - Plote os pontos calculados:
-
, -
, -
, -
.
-
- Ligue suavemente os pontos com uma curva que:
- É estritamente decrescente (vai de cima à esquerda para baixo à direita),
- É côncava para cima (a curva “abre” para cima),
- Aproxima-se de
à medida que aumenta, e cresce muito quando vai para a esquerda.
- Verifique: não desenhe a curva cruzando o eixo
; mantenha-a sempre positiva.
Se quiser comparar mentalmente, lembre-se que o gráfico de
é o reflexo horizontal do gráfico de
(troca
por
).
Passo 9
Resumo final das propriedades importantes (boas para decorar e usar rápido na prova):
- Fórmula:
. - Dominio: todos os números reais.
- Imagem: todos os reais positivos.
- Assíntota horizontal:
. - Intercepto em
: . - Monotonicidade: estritamente decrescente.
- Concavidade: côncava para cima.
Resposta
Esboço: curva estritamente decrescente e côncava para cima que passa por
,
,
,
, aproxima-se de
quando
e cresce sem limite quando
.
Domínio: .
Imagem: .
Domínio:
Imagem: