Esboce os gráficos das funções afins:
Identifique o coeficiente angular, o coeficiente linear e discuta a monotonia.
Identifique o coeficiente angular, o coeficiente linear e discuta a monotonia.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Esboçar o gráfico de
. - Identificar o coeficiente angular.
- Identificar o coeficiente linear.
- Discutir a monotonia da função.
Informação dada: a função é
para todo
(nenhuma outra condição fornecida).
Passo 2
Entendendo a forma geral das funções afins (uma mini-aula):
Uma função afim tem a forma geral
Uma função afim tem a forma geral
onde:
-
é o coeficiente angular (também chamado inclinação ou “slope”): indica quanto a função varia na coordenada quando aumenta uma unidade. Em fórmula, para dois pontos e ,
-
é o coeficiente linear (ou termo independente): é o valor da função quando , isto é . No gráfico é o ponto onde a reta corta o eixo .
Dica prática para a prova: para ler
e
basta pôr a função no formato
e identificar os números.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: escrever
no formato
. Podemos reescrever explicitamente
Logo:
- O coeficiente angular é
. - O coeficiente linear é
.
Para ver por que
faz sentido: escolha dois
quaisquer, por exemplo
e
. Então
Isso mostra que não há variação em
quando
varia — é uma variação nula.
Passo 4
Como esboçar o gráfico (passo a passo prontinho para a prova):
- Marque alguns pontos fáceis:
, , . Escreva-os como , , . - Como todos têm a mesma ordenada
, ligue-os com uma linha horizontal. - Essa linha horizontal é o gráfico de
: é a reta paralela ao eixo que passa por .
Observações úteis:
- Interseção com o eixo
: em (isto é ). - Interseção com o eixo
: não existe porque nunca é zero; a equação não tem solução. - Domínio:
. - Imagem (contradomínio efetivo):
— apenas o valor .
Passo 5
Discussão de monotonia (mini-aula e aplicação):
Definições rápidas:
Definições rápidas:
- A função é não decrescente (ou \emph{monótona crescente fraca}) se para todo
vale . - A função é não crescente (ou \emph{monótona decrescente fraca}) se para todo
vale . - Estritamente crescente/decrescente usam
ou em vez de / .
Aplicando a
: para quaisquer
tem-se
e
. Então
, o que satisfaz simultaneamente
e
. Portanto:
-
é ao mesmo tempo não decrescente e não crescente. -
é uma função constante. -
não é estritamente crescente nem estritamente decrescente (porque não existe par com desigualdade estrita).
Em palavras de prova: a função constante é monotônica no sentido fraco (não crescente e não decrescente), mas não é monotônica estrita.
Passo 6
Resumo prático e dica final para a prova:
- Para qualquer constante
a função tem sempre coeficiente angular e coeficiente linear ; o gráfico é uma linha horizontal em . - Se souber cálculo, outra forma de verificar: a derivada é
para todo , o que confirma que a função é constante (variação nula).
Força aí — é um exercício rápido: identificar
e
, marcar três pontos e traçar a horizontal.
Resposta
Coeficiente angular:
Coeficiente linear:
Monotonia: função constante; não é estritamente crescente nem estritamente decrescente; é simultaneamente não decrescente e não crescente.
Coeficiente linear:
Monotonia: função constante; não é estritamente crescente nem estritamente decrescente; é simultaneamente não decrescente e não crescente.