Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(a) f(x)=2^{x}
Indique domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x)=2^{x}:
  • Esboçar o gráfico (ou seja, desenhar a curva com suas características principais).
  • Indicar domínio e imagem (contraste: domínio = valores de x permitidos; imagem = valores que f(x) pode assumir).
Informações já dadas:
  • A função é f(x)=2^{x} (base 2, expoente variável x).
  • Não há restrição explícita no enunciado (isso será verificado nas próximas etapas).

Passo 2

Entender o que significa \,2^{x}\, para qualquer número real x.
A definição prática e útil para calculadora/manipulação é escrever a potência como uma exponencial natural:
2^{x} = e^{x\ln 2}.
Aqui:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828),
  • \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (um número positivo),
  • x é a variável real.
Dessa identidade segue uma conclusão importante sobre domínio: a expressão e^{x\ln 2} está bem definida para qualquer x\in\mathbb{R}. Logo, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais \,(-\infty,\infty).
Também desta expressão nota-se imediatamente que 2^{x}>0 para todo x, porque a exponencial e^{(\cdot)} é sempre positiva. Portanto a imagem será um subconjunto de (0,\infty). Ainda precisamos decidir se atinge todos os valores positivos — veremos já.

Passo 3

Calcular pontos-chave que ajudam a esboçar a curva (fácil de plotar sem calculadora):
  • Para x=0:
f(0)=2^{0}=1.
Ponto: (0,1) — intercepto com o eixo y.
  • Para x=1:
f(1)=2^{1}=2.
Ponto: (1,2).
  • Para x=-1:
f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}.
Ponto: (-1,\tfrac{1}{2}).
  • Para x=2:
f(2)=2^{2}=4.
Ponto: (2,4).
  • Para x=-2:
f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}.
Ponto: (-2,\tfrac{1}{4}).
Esses pontos formam uma tabela simples que já mostra a tendência: conforme x aumenta, f(x) cresce; conforme x diminui para valores negativos grandes, f(x) fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Determinar comportamento para x\to\pm\infty (isso diz como desenhar a curva nas extremidades):
  • Limite quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty.
Significa que à direita a curva sobe sem limite.
  • Limite quando x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0.
Mas note: nunca atinge 0, apenas se aproxima. Portanto há uma assíntota horizontal em y=0.
Com isso confirmamos que a imagem é (0,\infty): a função assume todos os valores positivos (arbitrariamente pequenos, mas nunca zero; e arbitrariamente grandes).

Passo 5

Verificar monotonicidade e concavidade (útil para o formato do esboço). Para funções exponenciais com base >1 há regras simples:
Calcule a derivada (isso é só para justificar matematicamente; na prova às vezes basta saber a regra geral):
f'(x)=\frac{d}{dx}2^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln 2}=\ln 2\;e^{x\ln 2}=\ln 2\;2^{x}.
Como \ln 2>0 e 2^{x}>0, tem-se f'(x)>0 para todo x. Logo a função é estritamente crescente em todo o domínio.
Segunda derivada:
f''(x)=(\ln 2)^{2}2^{x}>0,
então a função é côncava para cima (curva “abrindo para cima” — diz-se convexa). Na prática isso significa que, ao ligar os pontos do passo anterior, a curva vai subir acelerando, sem ondulações.

Passo 6

Como esboçar na folha (passo-a-passo prático):
  1. Trace dois eixos perpendiculares e marque uma linha horizontal leve em y=0 (essa será a assíntota).
  2. Marque o ponto (0,1) no eixo y.
  3. Marque (1,2) e (2,4) à direita do eixo y.
  4. Marque (-1,\tfrac{1}{2}) e (-2,\tfrac{1}{4}) à esquerda.
  5. Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, sempre:
    • aproximando-se de y=0 quando vai para a esquerda (sem tocar y=0),
    • subindo rapidamente para a direita,
    • sem voltas (monótona crescente) e com curvatura voltada para cima.
  6. Anote a assíntota horizontal y=0 com uma linha tracejada e escreva que não há intercepto com o eixo x (nenhum x tal que 2^{x}=0).
Observações visuais úteis para a prova:
  • Intercepto em y é (0,1).
  • Não há raízes reais (nenhum cruzamento com eixo x).
  • Curva confere com a tabela de pontos e com o fato de ser crescente e convexa.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (0,\infty)

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