Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(a)
Indique domínio e imagem.
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Esboçar o gráfico (ou seja, desenhar a curva com suas características principais).
- Indicar domínio e imagem (contraste: domínio = valores de
permitidos; imagem = valores que pode assumir).
Informações já dadas:
- A função é
(base , expoente variável ). - Não há restrição explícita no enunciado (isso será verificado nas próximas etapas).
Passo 2
Entender o que significa
para qualquer número real
.
A definição prática e útil para calculadora/manipulação é escrever a potência como uma exponencial natural:
Aqui:
-
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ), -
é o logaritmo natural de (um número positivo), -
é a variável real.
Dessa identidade segue uma conclusão importante sobre domínio: a expressão
está bem definida para qualquer
. Logo, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais
.
Também desta expressão nota-se imediatamente que
para todo
, porque a exponencial
é sempre positiva. Portanto a imagem será um subconjunto de
. Ainda precisamos decidir se atinge todos os valores positivos — veremos já.
Passo 3
Calcular pontos-chave que ajudam a esboçar a curva (fácil de plotar sem calculadora):
- Para
:
Ponto:
— intercepto com o eixo
.
- Para
:
Ponto:
.
- Para
:
Ponto:
.
- Para
:
Ponto:
.
- Para
:
Ponto:
.
Esses pontos formam uma tabela simples que já mostra a tendência: conforme
aumenta,
cresce; conforme
diminui para valores negativos grandes,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 4
Determinar comportamento para
(isso diz como desenhar a curva nas extremidades):
- Limite quando
:
Significa que à direita a curva sobe sem limite.
- Limite quando
:
Mas note: nunca atinge
, apenas se aproxima. Portanto há uma assíntota horizontal em
.
Com isso confirmamos que a imagem é
: a função assume todos os valores positivos (arbitrariamente pequenos, mas nunca zero; e arbitrariamente grandes).
Passo 5
Verificar monotonicidade e concavidade (útil para o formato do esboço). Para funções exponenciais com base
há regras simples:
Calcule a derivada (isso é só para justificar matematicamente; na prova às vezes basta saber a regra geral):
Como
e
, tem-se
para todo
. Logo a função é estritamente crescente em todo o domínio.
Segunda derivada:
então a função é côncava para cima (curva “abrindo para cima” — diz-se convexa). Na prática isso significa que, ao ligar os pontos do passo anterior, a curva vai subir acelerando, sem ondulações.
Passo 6
Como esboçar na folha (passo-a-passo prático):
- Trace dois eixos perpendiculares e marque uma linha horizontal leve em
(essa será a assíntota). - Marque o ponto
no eixo . - Marque
e à direita do eixo . - Marque
e à esquerda. - Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, sempre:
- aproximando-se de
quando vai para a esquerda (sem tocar ), - subindo rapidamente para a direita,
- sem voltas (monótona crescente) e com curvatura voltada para cima.
- aproximando-se de
- Anote a assíntota horizontal
com uma linha tracejada e escreva que não há intercepto com o eixo (nenhum tal que ).
Observações visuais úteis para a prova:
- Intercepto em
é . - Não há raízes reais (nenhum cruzamento com eixo
). - Curva confere com a tabela de pontos e com o fato de ser crescente e convexa.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: