Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(c) h(x)=e^{x-1}
Indique domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por
h(x)=e^{x-1}.
O que é pedido:
  • Esboçar o gráfico de h(x).
  • Indicar o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) de h.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica \,e^{x-1}\, (a base é a constante de Euler e).

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades básicas da função exponencial básica x\mapsto e^{x}, porque isso facilita muito o esboço.
  • Domínio de e^{x}: todos os números reais, isto é \mathbb{R}.
  • Imagem de e^{x}: valores estritamente positivos, isto é (0,\infty).
  • Comportamento nas extremidades: \lim_{x\to -\infty} e^{x}=0^+,\qquad \lim_{x\to +\infty} e^{x}=+\infty.Isso significa que a curva se aproxima de y=0 pela esquerda (assíntota horizontal) e cresce sem limite à direita.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}>0, então e^{x} é estritamente crescente.
  • Segunda derivada: \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}e^{x}=e^{x}>0, então é côncava para cima.
Dois pontos fáceis de lembrar para e^{x} são:
e^{0}=1\quad\text{(ponto }(0,1)\text{)},\qquad e^{1}=e\approx2{,}718\quad\text{(ponto }(1,e)\text{)}.

Passo 3

Agora veja a relação entre h(x)=e^{x-1} e a função e^{x}.
Defina u=x-1. Então
h(x)=e^{x-1}=e^{u},
com u=x-1. Geometricamente isto significa que o gráfico de e^{x-1} é o gráfico de e^{x} deslocado uma unidade para a direita (porque cada x em e^{x} virou x-1). Em transformações de gráficos: f(x-a) é f deslocada para a direita por a.
Portanto todas as propriedades de e^{x} se mantêm, exceto que os pontos se movem para a direita em 1 unidade.

Passo 4

Determinar pontos-chave do gráfico de h para esboçar:
  • Aplicando a ideia de deslocamento ao ponto (0,1) de e^{x}, obtemos para h o ponto (1,1) porque quando x=1 tem-se h(1)=e^{1-1}=e^{0}=1.
  • Aplicando ao ponto (1,e) de e^{x}, obtemos (2,e) porque h(2)=e^{2-1}=e^{1}=e.
  • Aplicando ao ponto (-1,1/e) de e^{x} (já que e^{-1}=1/e), obtemos (0,1/e) porque h(0)=e^{0-1}=e^{-1}=1/e.
Anote também a assíntota horizontal: como para e^{x} a assíntota é y=0, o mesmo vale para h. Ou seja, a curva se aproxima de y=0 quando x\to -\infty.
Derivada e concavidade para h:
h'(x)=\frac{d}{dx}e^{x-1}=e^{x-1}>0\quad\text{para todo }x,
logo h é estritamente crescente. E
h''(x)=e^{x-1}>0,
logo é côncava para cima em toda a reta.

Passo 5

Como desenhar o esboço (passos práticos para a prova):
  • Faça um sistema de eixos x e y.
  • Desenhe a linha horizontal y=0 pontilhada como assíntota.
  • Marque os pontos calculados: (0,1/e), (1,1), (2,e).
  • Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, fica muito próxima de y=0 para x muito negativos, e sobe rapidamente para +\infty quando x cresce. A curva deve ser crescente e côncava para cima.
    Isso já é um esboço correto do gráfico de h.

Passo 6

Raciocínio final para domínio e imagem (explicando como chegar nesses resultados na prova):
  • Domínio: a exponencial está definida para todo x\in\mathbb{R}, e a presença do -1 não restringe nada. Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem: para qualquer x temos e^{x-1}>0. Não há x que produza 0 ou um número negativo; tomando limites: \lim_{x\to -\infty} e^{x-1}=0^+,\qquad \lim_{x\to +\infty} e^{x-1}=+\infty.Isso mostra que h(x) atinge todos os valores positivos arbitrariamente pequenos (mas nunca 0) e cresce sem limite, portanto a imagem é (0,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)

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