Esboce os gráficos das funções exponenciais:
(c)
Indique domínio e imagem.
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Esboçar o gráfico de
. - Indicar o domínio e a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica
(a base é a constante de Euler
).
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades básicas da função exponencial básica
, porque isso facilita muito o esboço.
- Domínio de
: todos os números reais, isto é . - Imagem de
: valores estritamente positivos, isto é . - Comportamento nas extremidades:
Isso significa que a curva se aproxima de pela esquerda (assíntota horizontal) e cresce sem limite à direita. - Derivada:
, então é estritamente crescente. - Segunda derivada:
, então é côncava para cima.
Dois pontos fáceis de lembrar para
são:
Passo 3
Agora veja a relação entre
e a função
.
Defina
. Então
com
. Geometricamente isto significa que o gráfico de
é o gráfico de
deslocado uma unidade para a direita (porque cada
em
virou
). Em transformações de gráficos:
é
deslocada para a direita por
.
Portanto todas as propriedades de
se mantêm, exceto que os pontos se movem para a direita em
unidade.
Passo 4
Determinar pontos-chave do gráfico de
para esboçar:
- Aplicando a ideia de deslocamento ao ponto
de , obtemos para o ponto porque quando tem-se . - Aplicando ao ponto
de , obtemos porque . - Aplicando ao ponto
de (já que ), obtemos porque .
Anote também a assíntota horizontal: como para
a assíntota é
, o mesmo vale para
. Ou seja, a curva se aproxima de
quando
.
Derivada e concavidade para
:
logo
é estritamente crescente. E
logo é côncava para cima em toda a reta.
Passo 5
Como desenhar o esboço (passos práticos para a prova):
- Faça um sistema de eixos
e . - Desenhe a linha horizontal
pontilhada como assíntota. - Marque os pontos calculados:
, , . - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, fica muito próxima de
para muito negativos, e sobe rapidamente para quando cresce. A curva deve ser crescente e côncava para cima.
Isso já é um esboço correto do gráfico de.
Passo 6
Raciocínio final para domínio e imagem (explicando como chegar nesses resultados na prova):
- Domínio: a exponencial está definida para todo
, e a presença do não restringe nada. Logo o domínio é . - Imagem: para qualquer
temos . Não há que produza ou um número negativo; tomando limites: Isso mostra que atinge todos os valores positivos arbitrariamente pequenos (mas nunca ) e cresce sem limite, portanto a imagem é .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: