Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
\quad u(x)=|x-4|-3

Passo 1

O enunciado dá a função u(x)=|x-4|-3 e pede para esboçar o gráfico usando o gráfico de f(x)=|x| e explicar as transformações aplicadas.\n
Informações que temos e o que é pedido:
  • Função dada: u(x)=|x-4|-3.
  • Pede-se: descrever as transformações que levam f(x)=|x| até u(x) e explicar como esboçar o gráfico resultante.

Passo 2

Relembrando a função base f(x)=|x|\) (a "V" padrão): - Definição por partes: \[|x| = \begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}
  • Características úteis para desenhar:
    • Vértice em (0,0)\]. - Ramos retos com inclinações \(-1 (à esquerda) e +1 (à direita).
      - Eixo de simetria: x=0.
      - Domínio: \mathbb{R}.
      - Imagem (contrainte de y): [0,\infty).
      - Alguns pontos fáceis: (-1,1), (0,0), (1,1). Estes ajudam a traçar os ramos.]

Passo 3

Entendendo a transformação horizontal x\mapsto x-4:
  • Regra geral: se g(x)=f(x-h), então o gráfico de f é transladado horizontalmente para a direita por h unidades (se h>0).
  • Aplicando aqui: g(x)=|x-4| é f(x) deslocado 4 unidades para a direita.
  • Consequências imediatas:
    • Vértice passa de (0,0) para (4,0).
    • Eixo de simetria passa de x=0 para x=4.
    • O formato em “V” e as inclinações dos ramos permanecem as mesmas ( -1 e +1).
    • Domínio continua \mathbb{R}.
    • Imagem (antes era [0,\infty)) permanece [0,\infty) para g.

Passo 4

Entendendo a transformação vertical (subtrair 3):
  • Regra geral: se h(x)=g(x)-k, então o gráfico de g é transladado verticalmente para baixo por k unidades (se k>0).
  • Aqui: u(x)=|x-4|-3 é g(x)=|x-4| deslocado 3 unidades para baixo.
  • Consequências:
    • Vértice de g em (4,0) passa para (4,-3).
    • Imagem passa de [0,\infty) para [-3,\infty) (todo y diminuído em 3).
    • Domínio permanece \mathbb{R}.
    • Formato em “V” e inclinações dos ramos continuam iguais.

Passo 5

Escrevendo u(x) por partes (útil para desenhar com régua):
  • Para x<4, tem-se x-4<0\Rightarrow |x-4|=-(x-4). Então
u(x)=-(x-4)-3 = -x+4-3 = -x+1 \quad\text{para } x<4.
  • Para x\ge 4, tem-se x-4\ge 0\Rightarrow |x-4|=x-4. Então
u(x) = x-4-3 = x-7 \quad\text{para } x\ge 4.
  • Ou seja, o gráfico é a união de duas retas que se encontram no vértice x=4:
    • ramo esquerdo: reta y=-x+1 (pendente -1),
    • ramo direito: reta y=x-7 (pendente +1).

Passo 6

Interceptos e pontos práticos para esboçar:
  • Vértice: (4,-3) (pegou-se deslocamento horizontal 4 e vertical -3).
  • Interseção com o eixo y (quando x=0): u(0)=|0-4|-3=4-3=1,então o ponto (0,1) está no gráfico (pegou-se este valor calculado diretamente).
  • Zeros (interseção com eixo x): resolver |x-4|-3=0\Rightarrow |x-4|=3, portanto x-4=\pm 3\Rightarrow x=7 ou x=1. Pontos: (1,0) e (7,0).
  • Outros pontos rápidos para guiar o traço:
    • x=2:\\ u(2)=|2-4|-3=2-3=-1 ponto (2,-1).
    • x=5:\\ u(5)=|1|-3=-2 ponto (5,-2).

Passo 7

Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os eixos cartesianos e marque uma escala.
  2. Marque o vértice em (4,-3).
  3. Marque o eixo de simetria vertical x=4 como referência.
  4. Marque os pontos (1,0), (7,0) (zeros) e o ponto (0,1) (y-intercept) e, se quiser, (2,-1), (5,-2).
  5. Trace a reta do ramo esquerdo passando por (1,0), (2,-1) e chegando ao vértice (4,-3) com inclinação -1.
  6. Trace a reta do ramo direito passando por (4,-3), (5,-2), (7,0) com inclinação +1.
  7. Confirme visualmente que o mínimo é y=-3 no vértice e que a forma é simétrica em relação a x=4.

Passo 8

Resumo das transformações (forma curta e direta):
  • Começar em f(x)=|x|.
  • Aplicar x\mapsto x-4: deslocamento horizontal para a direita de 4 unidades.
  • Aplicar -3 fora do módulo: deslocamento vertical para baixo de 3 unidades.
  • Não há reflexão nem mudança de inclinação (nenhuma modulação de amplitude).

Resposta

Transformações: deslocamento para a direita 4 unidades e para baixo 3 unidades.
Vértice: (4,-3).
Eixo de simetria: x=4.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem (intervalo): [-3,\infty).
Zeros: (1,0) e (7,0).
Intercepto em y: (0,1).
Representação por partes:
u(x)=\begin{cases} -x+1, & x<4,\\[4pt] x-7, & x\ge 4. \end{cases}]

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