Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para esboçar o gráfico usando o gráfico de
e explicar as transformações aplicadas.\n
Informações que temos e o que é pedido:
Informações que temos e o que é pedido:
- Função dada:
. - Pede-se: descrever as transformações que levam
até e explicar como esboçar o gráfico resultante.
Passo 2
Relembrando a função base
- Características úteis para desenhar:
- Vértice em
(à esquerda) e
(à direita).
- Eixo de simetria:.
- Domínio:.
- Imagem (contrainte de): .
- Alguns pontos fáceis:, , . Estes ajudam a traçar os ramos.]
- Vértice em
(à esquerda) e
Passo 3
Entendendo a transformação horizontal
:
- Regra geral: se
, então o gráfico de é transladado horizontalmente para a direita por unidades (se ). - Aplicando aqui:
é deslocado 4 unidades para a direita. - Consequências imediatas:
- Vértice passa de
para . - Eixo de simetria passa de
para . - O formato em “V” e as inclinações dos ramos permanecem as mesmas (
e ). - Domínio continua
. - Imagem (antes era
) permanece para .
- Vértice passa de
Passo 4
Entendendo a transformação vertical (subtrair
):
- Regra geral: se
, então o gráfico de é transladado verticalmente para baixo por unidades (se ). - Aqui:
é deslocado 3 unidades para baixo. - Consequências:
- Vértice de
em passa para . - Imagem passa de
para (todo diminuído em 3). - Domínio permanece
. - Formato em “V” e inclinações dos ramos continuam iguais.
- Vértice de
Passo 5
Escrevendo
por partes (útil para desenhar com régua):
- Para
, tem-se . Então
- Para
, tem-se . Então
- Ou seja, o gráfico é a união de duas retas que se encontram no vértice
: - ramo esquerdo: reta
(pendente ), - ramo direito: reta
(pendente ).
- ramo esquerdo: reta
Passo 6
Interceptos e pontos práticos para esboçar:
- Vértice:
(pegou-se deslocamento horizontal 4 e vertical ). - Interseção com o eixo
(quando ): então o ponto está no gráfico (pegou-se este valor calculado diretamente). - Zeros (interseção com eixo
): resolver , portanto ou . Pontos: e . - Outros pontos rápidos para guiar o traço:
-
ponto . -
ponto .
-
Passo 7
Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe os eixos cartesianos e marque uma escala.
- Marque o vértice em
. - Marque o eixo de simetria vertical
como referência. - Marque os pontos
, (zeros) e o ponto (y-intercept) e, se quiser, , . - Trace a reta do ramo esquerdo passando por
, e chegando ao vértice com inclinação . - Trace a reta do ramo direito passando por
, , com inclinação . - Confirme visualmente que o mínimo é
no vértice e que a forma é simétrica em relação a .
Passo 8
Resumo das transformações (forma curta e direta):
- Começar em
. - Aplicar
: deslocamento horizontal para a direita de unidades. - Aplicar
fora do módulo: deslocamento vertical para baixo de unidades. - Não há reflexão nem mudança de inclinação (nenhuma modulação de amplitude).
Resposta
Transformações: deslocamento para a direita 4 unidades e para baixo 3 unidades.
Vértice: .
Eixo de simetria: .
Domínio: .
Imagem (intervalo): .
Zeros: e
.
Intercepto em :
.
Representação por partes:
Vértice:
Eixo de simetria:
Domínio:
Imagem (intervalo):
Zeros:
Intercepto em
Representação por partes: