Esboce os gráficos das funções quadráticas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo:
f(x)=x^{2}+4 x+3

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=x^{2}+4x+3.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é um polinômio de segundo grau com expressão explícita acima.
  • Não há outras restrições ou imagens.
O objetivo concreto para o esboço: determinar elementos chave (abertura, vértice, raízes, intercepto com o eixo y, eixo de simetria) e usar esses pontos para desenhar a parábola.

Passo 2

Identificar os coeficientes da função quadrática e o sinal deles (isso dá muitas informações iniciais).
Escrevendo a forma padrão f(x)=ax^{2}+bx+c, temos:
a=1,\qquad b=4,\qquad c=3.
O coeficiente a controla a concavidade da parábola:
  • Se a>0 a parábola abre para cima.
  • Se a<0 abre para baixo.
    Aqui a=1>0, portanto a parábola abre para cima (como um “U”).

Passo 3

Calcular as raízes (zeros) da função — são os pontos onde a parábola cruza o eixo x.
Para isso usarei a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula dá as soluções de ax^{2}+bx+c=0 por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad\text{onde}\qquad \Delta=b^{2}-4ac
é o discriminante.
Calculemos o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot 3 = 16-12 = 4.
Como \Delta=4>0, há duas raízes reais distintas.
Agora as raízes:
x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{-4\pm 2}{2}.
Isso dá os dois valores
x_{1}=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1, \qquad x_{2}=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3.
Portanto, os interceptos com o eixo x são (-1,0) e (-3,0).

Passo 4

Calcular o intercepto com o eixo y (valor de f em x=0). Isso dá o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical.
f(0)=0^{2}+4\cdot 0+3=3.
Logo o intercepto é o ponto (0,3).

Passo 5

Determinar o vértice da parábola — o ponto mínimo (porque a parábola abre para cima).
Existem duas maneiras comuns: fórmula do vértice ou completar o quadrado. Vou mostrar as duas (aprende 2 jeitos, útil na prova).
Maneira 1 — fórmula do vértice:
A coordenada x do vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2.
A coordenada y do vértice é y_{v}=f(x_{v}). Calcule:
f(-2)=(-2)^{2}+4(-2)+3=4-8+3=-1.
Portanto o vértice é (-2,-1).
Maneira 2 — completando o quadrado (útil para ver a forma canônica e interpretar deslocamentos):
Começo com
f(x)=x^{2}+4x+3.
Agrupo o termo quadrático e o termo linear e completo o quadrado:
x^{2}+4x = x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4.
Então
f(x)=(x+2)^{2}-4+3=(x+2)^{2}-1.
A forma canônica (x+2)^{2}-1 deixa claro que o vértice é em x=-2 e y=-1, consistente com o cálculo anterior. Também mostra que a parábola é a função y=(x+2)^{2} deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.

Passo 6

Determinar o eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice.
Como x_{v}=-2, o eixo de simetria é a reta x=-2.

Passo 7

Montar uma tabela de pontos simples para ajudar no esboço (além de vértice e interceptos já encontrados). Escolho alguns x inteiros próximos:
  • Para x=-3: f(-3)=(-3)^{2}+4(-3)+3=9-12+3=0 (já conhecido: raiz).
  • Para x=-2: f(-2)=-1 (vértice).
  • Para x=-1: f(-1)=(-1)^{2}+4(-1)+3=1-4+3=0 (outra raiz).
  • Para x=0: f(0)=3 (intercepto em y).
    Posso também avaliar x=1: f(1)=1+4+3=8, e x=-4: f(-4)=16-16+3=3. Note que f(-4)=f(0)=3 por simetria em relação a x=-2.
Resumo de pontos úteis:
(-3,0),\;(-2,-1),\;(-1,0),\;(0,3),\;(1,8),\;(-4,3).

Passo 8

Instruções práticas para esboçar o gráfico na folha (passo a passo, como fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (por exemplo, 1 unidade por quadrado).
  2. Marque e desenhe os pontos que calculamos: (-3,0), (-2,-1), (-1,0), (0,3). Estes quatro já bastam para o formato principal.
  3. Trace a reta vertical x=-2 como eixo de simetria (opcionalmente leve só como guia).
  4. Ligue os pontos com uma curva suave em forma de “U”, passando por (-3,0) e (-1,0) e alcançando mínimo em (-2,-1). Como a parábola abre para cima, ela sobe indefinidamente para a esquerda e para a direita.
  5. Verifique que os pontos (-4,3) e (0,3) estão na mesma altura (simetria), confirme a forma.
  6. Opcional: desenhe setas nas extremidades para indicar que a parábola continua.

Passo 9

Observações finais que ajudam na prova e no entendimento:
  • A forma canônica (x+2)^{2}-1 é poderosa: mostra deslocamentos horizontais e verticais da parábola básica y=x^{2}. Isso facilita esboços rápidos.
  • As raízes -3 e -1 permitem posicionar exatamente onde cruza o eixo x; o vértice entre elas em x=-2 confirma a simetria.
  • O sinal de a (aqui positivo) determina se o vértice é mínimo (a>0) ou máximo (a<0).

Resposta

Vértice: (-2,-1)
Raízes: x=-3 e x=-1 (interceptos (-3,0) e (-1,0))
Intercepto com y: (0,3)
Eixo de simetria: x=-2
A parábola abre para cima; forma canônica: f(x)=(x+2)^{2}-1.

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