Esboce os gráficos das funções quadráticas
definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática
dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é um polinômio de segundo grau com expressão explícita acima.
- Não há outras restrições ou imagens.
O objetivo concreto para o esboço: determinar elementos chave (abertura, vértice, raízes, intercepto com o eixo
, eixo de simetria) e usar esses pontos para desenhar a parábola.
Passo 2
Identificar os coeficientes da função quadrática e o sinal deles (isso dá muitas informações iniciais).
Escrevendo a forma padrão , temos:
Escrevendo a forma padrão
O coeficiente
controla a concavidade da parábola:
- Se
a parábola abre para cima. - Se
abre para baixo.
Aqui, portanto a parábola abre para cima (como um “U”).
Passo 3
Calcular as raízes (zeros) da função — são os pontos onde a parábola cruza o eixo
.
Para isso usarei a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula dá as soluções de por
Para isso usarei a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula dá as soluções de
é o discriminante.
Calculemos o discriminante:
Como
, há duas raízes reais distintas.
Agora as raízes:
Isso dá os dois valores
Portanto, os interceptos com o eixo
são
e
.
Passo 4
Calcular o intercepto com o eixo
(valor de
em
). Isso dá o ponto onde a parábola cruza o eixo vertical.
Logo o intercepto é o ponto
.
Passo 5
Determinar o vértice da parábola — o ponto mínimo (porque a parábola abre para cima).
Existem duas maneiras comuns: fórmula do vértice ou completar o quadrado. Vou mostrar as duas (aprende 2 jeitos, útil na prova).
Existem duas maneiras comuns: fórmula do vértice ou completar o quadrado. Vou mostrar as duas (aprende 2 jeitos, útil na prova).
Maneira 1 — fórmula do vértice:
A coordenada do vértice é
A coordenada
A coordenada
do vértice é
. Calcule:
Portanto o vértice é
.
Maneira 2 — completando o quadrado (útil para ver a forma canônica e interpretar deslocamentos):
Começo com
Começo com
Agrupo o termo quadrático e o termo linear e completo o quadrado:
Então
A forma canônica
deixa claro que o vértice é em
e
, consistente com o cálculo anterior. Também mostra que a parábola é a função
deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.
Passo 6
Determinar o eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice.
Como , o eixo de simetria é a reta
.
Como
Passo 7
Montar uma tabela de pontos simples para ajudar no esboço (além de vértice e interceptos já encontrados). Escolho alguns
inteiros próximos:
- Para
: (já conhecido: raiz). - Para
: (vértice). - Para
: (outra raiz). - Para
: (intercepto em ).
Posso também avaliar: , e : . Note que por simetria em relação a .
Resumo de pontos úteis:
Passo 8
Instruções práticas para esboçar o gráfico na folha (passo a passo, como fazer na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (por exemplo, 1 unidade por quadrado). - Marque e desenhe os pontos que calculamos:
, , , . Estes quatro já bastam para o formato principal. - Trace a reta vertical
como eixo de simetria (opcionalmente leve só como guia). - Ligue os pontos com uma curva suave em forma de “U”, passando por
e e alcançando mínimo em . Como a parábola abre para cima, ela sobe indefinidamente para a esquerda e para a direita. - Verifique que os pontos
e estão na mesma altura (simetria), confirme a forma. - Opcional: desenhe setas nas extremidades para indicar que a parábola continua.
Passo 9
Observações finais que ajudam na prova e no entendimento:
- A forma canônica
é poderosa: mostra deslocamentos horizontais e verticais da parábola básica . Isso facilita esboços rápidos. - As raízes
e permitem posicionar exatamente onde cruza o eixo ; o vértice entre elas em confirma a simetria. - O sinal de
(aqui positivo) determina se o vértice é mínimo (a>0) ou máximo (a<0).
Resposta
Vértice:
Raízes: e
(interceptos
e
)
Intercepto com :
Eixo de simetria:
A parábola abre para cima; forma canônica: .
Raízes:
Intercepto com
Eixo de simetria:
A parábola abre para cima; forma canônica: