Esboce os gráficos de funções que satisfaçam as condições indicadas:
b) D(f)=I R, existem lim x 0 f(x) e lim x 1^+ f(x) mas f é descontinua em x=0 e x=1.

Passo 1

Vamos recapitular o que o exercício pede: o domínio é todo
R, queremos que existam
limxto0f(x) e
limxto1^+f(x), mas que a função seja descontínua em
x=0 e em
x=1.

Passo 2

Uma escolha simples é usar a reta
y=x como “corpo” da função e deslocar apenas os valores em
x=0 e
x=1. Definimos:
f(x)=x,&xneq0, xneq1,1,&x=0,0,&x=1

Passo 3

Agora verificamos os limites e a descontinuidade:
– Para
xto0, como em todo ponto diferente de zero
f(x)=x, temos
limxto0f(x)=0
Mas
f(0)=1, logo há descontinuidade em
x=0.
– Para
xto1^+, como à direita de 1 vale
f(x)=x,
limxto1^+f(x)=1
Contudo
f(1)=0, então há descontinuidade em
x=1.
Em ambos os pontos os limites existem, mas são diferentes do valor da função.

Passo 4

Para esboçar:
– Desenhe a reta
y=x para todo
x.
– Faça um círculo vazio (buraco) em
(0,0) e coloque um ponto cheio em
(0,1).
– Faça um círculo vazio em
(1,1) e ponto cheio em
(1,0).
Isso garante os saltos em
x=0 e
x=1 mesmo com limites existindo.

Passo 5

O gráfico resultante satisfaz: domínio R, limxto0f(x) e limxto1^+f(x) existem, mas a função é descontínua em 0 e em 1.

Resposta

Gráfico da reta y=x com um buraco em (0,0) e ponto sólido em (0,1), e um buraco em (1,1) e ponto sólido em (1,0).

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