Esboce os gráficos de funções que satisfaçam as condições indicadas:
b) , existem e mas é descontinua em e .
Passo 1
Vamos recapitular o que o exercício pede: o domínio é todo , queremos que existam e , mas que a função seja descontínua em e em .
Passo 2
Uma escolha simples é usar a reta como “corpo” da função e deslocar apenas os valores em e . Definimos:
Passo 3
Agora verificamos os limites e a descontinuidade:
– Para xto0, como em todo ponto diferente de zero f(x)=x, temos
limxto0f(x)=0
Mas f(0)=1, logo há descontinuidade em x=0.
– Para xto1^+, como à direita de 1 vale f(x)=x, limxto1^+f(x)=1
Contudo f(1)=0, então há descontinuidade em x=1.
Em ambos os pontos os limites existem, mas são diferentes do valor da função.
Passo 4
Para esboçar:
– Desenhe a reta y=x para todo x.
– Faça um círculo vazio (buraco) em (0,0) e coloque um ponto cheio em (0,1).
– Faça um círculo vazio em (1,1) e ponto cheio em (1,0).
Isso garante os saltos em x=0 e x=1 mesmo com limites existindo.
Passo 5
O gráfico resultante satisfaz: domínio R, limxto0f(x) e limxto1^+f(x) existem, mas a função é descontínua em 0 e em 1.
Resposta
Gráfico da reta y=x com um buraco em (0,0) e ponto sólido em (0,1), e um buraco em (1,1) e ponto sólido em (1,0).