Nos Exercícios 1-6, (a) expresse dw/dt como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.
w=2 y e^r-ln z, x=ln (t^2+1), y=tg^-1 t, z=e^t ; t=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dw}{dt} $. O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia, que serve para derivar funções compostas. A gente vai precisar expressar $ w $ em termos de $ t $ usando as equações dadas e depois derivar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ w $ em termos de $ t $. As equações que a gente tem são:
w
t
w = 2 y e^x - ln z
x = ln (t^2 + 1)
Substituindo $ x, y $ e $ z $ em $ w $:
y = tan^-1 t
Simplificando algumas partes usando propriedades dos logaritmos e exponentes:
Sabemos que $ e^{\ln(a)} = a $ e $ \ln(e^{b}) = b $, então:
z = e^t

Passo 3

Agora, vamos derivar $ w $ em relação a $ t $. A função está na forma:
w
Vamos aplicar a Regra do Produto para derivar o primeiro termo, já que é o produto de $ \tan^{-1}(t) $ e $ (t^{2} + 1) $:
t
Derivando cada parte:
  • $ \frac{d}{dt}(\tan^{-1}(t)) = \frac{1}{1 + t^{2}} $ (essa é a derivada conhecida da arctangente)
  • $ \frac{d}{dt}(t^{2} + 1) = 2t $
  • $ \frac{d}{dt}(t) = 1 $
Substituindo de volta:
w = 2 cdot tan^-1(t) cdot (t^2 + 1) - t
Simplificando:
tan^-1(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{dw}{dt} $ quando $ t = 1 $:
dwdt
Sabemos que $ \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} $, então:
t = 1

Resposta

dwdt|t=1 = 1 + pi

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