Nos Exercícios 1-6, (a) expresse
como uma função de
, utilizando a regra da cadeia, expressando
em termos de
e diferenciando diretamente com relação a
. Em seguida, (b) calcule
no valor dado de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dw}{dt} $. O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia, que serve para derivar funções compostas. A gente vai precisar expressar $ w $ em termos de $ t $ usando as equações dadas e depois derivar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ w $ em termos de $ t $. As equações que a gente tem são:
Substituindo $ x, y $ e $ z $ em $ w $:
Simplificando algumas partes usando propriedades dos logaritmos e exponentes:
Sabemos que $ e^{\ln(a)} = a $ e $ \ln(e^{b}) = b $, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ w $ em relação a $ t $. A função está na forma:
Vamos aplicar a Regra do Produto para derivar o primeiro termo, já que é o produto de $ \tan^{-1}(t) $ e $ (t^{2} + 1) $:
Derivando cada parte:
- $ \frac{d}{dt}(\tan^{-1}(t)) = \frac{1}{1 + t^{2}} $ (essa é a derivada conhecida da arctangente)
- $ \frac{d}{dt}(t^{2} + 1) = 2t $
- $ \frac{d}{dt}(t) = 1 $
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{dw}{dt} $ quando $ t = 1 $:
Sabemos que $ \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} $, então: