Esboce os gráficos das funções trigonométricas abaixo. Qual é o período de cada uma delas?
f(x)=tg(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=tg(3x) e determinar seu período. O conteúdo é de funções trigonométricas (tangente) e vamos precisar usar a propriedade de periodicidade da tangente e conhecer seus pontos notáveis (assíntotas e zeros).

Passo 2

Sabemos que a função tangente básica tg(x) tem período π, zeros em x=kπ e assíntotas verticais em x=π/2 + kπ, com k∈ℤ. Quando temos f(x)=tg(a x), basta substituir x por a x: o período torna-se π/|a|, os zeros em a x=kπ ⇒ x=kπ/a e as assíntotas em a x=π/2+kπ ⇒ x=π/(2a)+kπ/a.

Passo 3

No caso f(x)=tg(3x), o coeficiente a=3. Logo o período é π/3. Assim a cada comprimento π/3 o padrão de zeros e assíntotas se repete.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, identifique um período fundamental, por exemplo no intervalo entre duas assíntotas: 3x=π/2 e 3x=−π/2, isto é x=π/6 e x=−π/6. Nesse trecho a curva passa por zero em 3x=0 ⇒ x=0, subindo de −∞ (em x→−π/6⁺) até +∞ (em x→π/6⁻). Repita esse formato em todos os intervalos deslocados de π/3.

Passo 5

Dessa forma o gráfico é composto por ramos semelhantes ao da tg(x), comprimidos horizontalmente em 3 vezes, com assíntotas em x=π/6 + k·(π/3) e zeros em x=k·(π/3).

Resposta

O período de f(x)=tg(3x) é π/3.

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