Esboce os gráficos das seguintes funções f(x), onde
f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}}.
  • Informações dadas: a fórmula da função \,f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}}\, valida para todo x em que a expressão faz sentido (ou seja, para x\neq0 porque o denominador x^{2} não pode ser zero).
Vou listar explicitamente o que vou precisar determinar para esboçar o gráfico: domínio, sinais, comportamentos limites (quando x\to0^\pm, x\to+\infty, x\to-\infty), assíntotas, derivadas para monotonicidade e extremos, concavidade e pontos notáveis (alguns valores numéricos para colocar no esboço).

Passo 2

Domínio e sinal da função (coisa simples, mas importante).
  • Domínio: x\neq0. Então o domínio é (-\infty,0)\cup(0,+\infty).
  • Sinal: e^{x}>0 para todo x e x^{2}>0 para todo x\neq0. Logo f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}>0\quad\text{para todo }x\neq0.Conclusão prática: o gráfico fica inteiramente acima do eixo x (positiva), em ambas as partes do domínio.

Passo 3

Limites e assíntotas verticais / horizontais.
  • Comportamento perto de x=0. Para x\to0^{+} e x\to0^{-} temos e^{x}\to1 e x^{2}\to0^{+}, portanto
    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty.
    Conclusão: há uma assíntota vertical em x=0, e em ambos os lados a função dispara para +\infty.
  • Comportamento em +\infty e -\infty.
    \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=+\infty
    porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial.
    \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=0^{+}
    porque e^{x}\to0 e x^{2}\to+\infty, portanto o quociente tende a zero (positivamente). Conclusão: existe uma assíntota horizontal em y=0 quando x\to-\infty; não há assíntota horizontal quando x\to+\infty (a função vai para +\infty).

Passo 4

Derivada primeira: cálculo e interpretação (monotonicidade).
  • Reescrevo f(x)=e^{x}x^{-2}. Aplico a regra do produto:
    f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}x^{-2}\big)=e^{x}x^{-2}+e^{x}\cdot(-2)x^{-3}.
    Colocando em fator comum e^{x}x^{-3}:
    f'(x)=e^{x}x^{-3}(x-2).
  • Como e^{x}>0 sempre, o sinal de f'(x) depende apenas de x^{-3}(x-2).
    • Para x>0: x^{-3}>0, então \operatorname{sgn}f'(x)=\operatorname{sgn}(x-2). Logo em (0,2) temos f'<0 (decrescente) e em (2,+\infty) temos f'>0 (crescente).
    • Para x<0: x^{-3}<0 e x-2<0, então x^{-3}(x-2)>0. Logo em (-\infty,0) temos f'>0 (crescente).
  • Zeros de f': somente x=2 (já que x=0 não pertence ao domínio). Conclusão de monotonicidade:
    • f é crescente em (-\infty,0).
    • f é decrescente em (0,2).
    • f é crescente em (2,+\infty).

Passo 5

Extremos (classificação do ponto crítico).
  • Em x=2 temos f'(2)=0 e, pela mudança de sinal ( f'<0 imediatamente à esquerda em (0,2) e f'>0 à direita em (2,\infty)), x=2 é um mínimo local.
  • Valor nesse ponto: f(2)=\frac{e^{2}}{2^{2}}=\frac{e^{2}}{4}.Aproximação útil para o esboço: e^{2}\approx7{,}389, então f(2)\approx1{,}847.
Observação sobre mínimo global: a função tende a 0^{+} quando x\to-\infty, portanto o ínfimo global é 0 (não atingido). O ponto x=2 é mínimo local e mínimo relativo na componente positiva do domínio, mas não é mínimo global absoluto (porque o valor pode ficar arbitrariamente próximo de 0 para x muito negativo).

Passo 6

Derivada segunda: cálculo e concavidade.
  • Partindo de f'(x)=e^{x}\dfrac{x-2}{x^{3}}, derivando novamente:
    f''(x)=e^{x}\frac{x-2}{x^{3}}+e^{x}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x-2}{x^{3}}\right).
    Calculando \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x-2}{x^{3}}\right): escrever \dfrac{x-2}{x^{3}}=(x-2)x^{-3} e derivar
    \frac{d}{dx}\!\left((x-2)x^{-3}\right)=x^{-3}-3(x-2)x^{-4}=\frac{2(3-x)}{x^{4}}.
    Somando os termos e colocando em denominação comum obtemos a forma simplificada
    f''(x)=e^{x}\frac{x^{2}-4x+6}{x^{4}}.
  • Analisando o sinal de f'': o fator e^{x}>0, x^{4}>0 para x\neq0, e x^{2}-4x+6=(x-2)^{2}+2>0 para todo x. Portanto f''(x)>0 para todo x\neq0.
Conclusão: a função é côncava para cima (convexa) em toda a sua região de definição; não existe ponto de inflexão (porque f'' não muda de sinal nem se anula).

Passo 7

Pontos de referência numéricos e instruções práticas para o esboço.
  • Alguns valores úteis (para posicionar pontos no esboço): f(1)=\frac{e}{1}=e\approx2{,}718,\qquad f(2)=\frac{e^{2}}{4}\approx1{,}847.Outros valores rapidamente estimáveis: f(3)=\dfrac{e^{3}}{9} (cresce depois de 2); para x muito negativo f(x)\approx0.
  • Resumo do comportamento para desenhar:
    • No ramo esquerdo (-\infty,0): começa muito perto de y=0 quando x\to-\infty, é crescente e convexa, e sobe para +\infty à medida que x\to0^{-}.
    • No ramo direito (0,+\infty): a curva vem de +\infty quando x\to0^{+}, desce (sempre convexa) até o mínimo local em (2,\tfrac{e^{2}}{4}), e depois sobe novamente para +\infty quando x\to+\infty.
  • Aspectos a colocar no esboço:
    • Linha vertical tracejada em x=0 (assíntota vertical).
    • Eixo x como linha de referência; a curva nunca corta o eixo x.
    • Uma seta decrescente no ramo direito entre x=0^{+} e x=2, marcando o ponto \big(2,\tfrac{e^{2}}{4}\big), e depois seta ascendente para x>2.
    • Ramo esquerdo rasteiro vindo de y\approx0 (à esquerda) subindo convexamente até +\infty ao se aproximar de x=0^{-}.

Passo 8

Dicas rápidas de desenho (sem calculadora um esboço correto):
  • Trace uma assíntota vertical em x=0.
  • À esquerda de x=0: desenhe uma curva positiva, baixa quando x é muito negativo (próxima a y=0), crescente e convexa até explodir para +\infty em x=0^{-}.
  • À direita de x=0: desenhe a curva começando em +\infty em x=0^{+}, descendo convexamente, passando por f(1)\approx2{,}72, atingindo o mínimo em x=2 com f(2)\approx1{,}85, e depois subindo sem limite para +\infty.
  • Lembre-se: nenhuma intersecção com o eixo x e curvatura sempre para cima.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,+\infty).
Sinal: f(x)>0 para todo x\neq0.
Assíntotas: vertical em x=0; horizontal y=0 só em x\to-\infty.
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,2), crescente em (2,+\infty).
Extremo: mínimo local em x=2 com f(2)=\dfrac{e^{2}}{4}\approx1{,}847.
Concavidade: f''(x)>0 para todo x\neq0 (convexa em todo o domínio).
Comportamento nas infinitas: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{+}.

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