Esboce os gráficos das seguintes funções
, onde
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: esboçar o gráfico da função
. - Informações dadas: a fórmula da função
valida para todo em que a expressão faz sentido (ou seja, para porque o denominador não pode ser zero).
Vou listar explicitamente o que vou precisar determinar para esboçar o gráfico: domínio, sinais, comportamentos limites (quando
,
,
), assíntotas, derivadas para monotonicidade e extremos, concavidade e pontos notáveis (alguns valores numéricos para colocar no esboço).
Passo 2
Domínio e sinal da função (coisa simples, mas importante).
- Domínio:
. Então o domínio é . - Sinal:
para todo e para todo . Logo Conclusão prática: o gráfico fica inteiramente acima do eixo (positiva), em ambas as partes do domínio.
Passo 3
Limites e assíntotas verticais / horizontais.
-
Comportamento perto de
. Para e temos e , portanto Conclusão: há uma assíntota vertical em, e em ambos os lados a função dispara para . -
Comportamento em
e . porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial.porquee , portanto o quociente tende a zero (positivamente). Conclusão: existe uma assíntota horizontal em quando ; não há assíntota horizontal quando (a função vai para ).
Passo 4
Derivada primeira: cálculo e interpretação (monotonicidade).
-
Reescrevo
. Aplico a regra do produto: Colocando em fator comum: -
Como
sempre, o sinal de depende apenas de . - Para
: , então . Logo em temos (decrescente) e em temos (crescente). - Para
: e , então . Logo em temos (crescente).
- Para
-
Zeros de
: somente (já que não pertence ao domínio). Conclusão de monotonicidade: -
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
-
Passo 5
Extremos (classificação do ponto crítico).
- Em
temos e, pela mudança de sinal ( imediatamente à esquerda em e à direita em ), é um mínimo local. - Valor nesse ponto:
Aproximação útil para o esboço: , então .
Observação sobre mínimo global: a função tende a
quando
, portanto o ínfimo global é
(não atingido). O ponto
é mínimo local e mínimo relativo na componente positiva do domínio, mas não é mínimo global absoluto (porque o valor pode ficar arbitrariamente próximo de
para
muito negativo).
Passo 6
Derivada segunda: cálculo e concavidade.
-
Partindo de
, derivando novamente: Calculando: escrever e derivar Somando os termos e colocando em denominação comum obtemos a forma simplificada -
Analisando o sinal de
: o fator , para , e para todo . Portanto para todo .
Conclusão: a função é côncava para cima (convexa) em toda a sua região de definição; não existe ponto de inflexão (porque
não muda de sinal nem se anula).
Passo 7
Pontos de referência numéricos e instruções práticas para o esboço.
- Alguns valores úteis (para posicionar pontos no esboço):
Outros valores rapidamente estimáveis: (cresce depois de ); para muito negativo . - Resumo do comportamento para desenhar:
- No ramo esquerdo
: começa muito perto de quando , é crescente e convexa, e sobe para à medida que . - No ramo direito
: a curva vem de quando , desce (sempre convexa) até o mínimo local em , e depois sobe novamente para quando .
- No ramo esquerdo
- Aspectos a colocar no esboço:
- Linha vertical tracejada em
(assíntota vertical). - Eixo
como linha de referência; a curva nunca corta o eixo . - Uma seta decrescente no ramo direito entre
e , marcando o ponto , e depois seta ascendente para . - Ramo esquerdo rasteiro vindo de
(à esquerda) subindo convexamente até ao se aproximar de .
- Linha vertical tracejada em
Passo 8
Dicas rápidas de desenho (sem calculadora um esboço correto):
- Trace uma assíntota vertical em
. - À esquerda de
: desenhe uma curva positiva, baixa quando é muito negativo (próxima a ), crescente e convexa até explodir para em . - À direita de
: desenhe a curva começando em em , descendo convexamente, passando por , atingindo o mínimo em com , e depois subindo sem limite para . - Lembre-se: nenhuma intersecção com o eixo
e curvatura sempre para cima.
Resposta
Domínio:
.
Sinal: para todo
.
Assíntotas: vertical em ; horizontal
só em
.
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
, crescente em
.
Extremo: mínimo local em com
.
Concavidade: para todo
(convexa em todo o domínio).
Comportamento nas infinitas: .
Sinal:
Assíntotas: vertical em
Monotonicidade: crescente em
Extremo: mínimo local em
Concavidade:
Comportamento nas infinitas: