Deseja-se construir uma caixa em forma de prisma retangular, com base quadrada de lado
e altura
, cujo volume é
.
O material do fundo e da tampa custa 2 reais o
, ao passo que o material das laterais custa 5 reais o
.
Obtenha as dimensões
e
da caixa que minimizam o custo total do material.
O material do fundo e da tampa custa 2 reais o
Passo 1
O enunciado pede que se encontre as dimensões
e
(onde
é o lado da base quadrada e
é a altura) de uma caixa prisma retangular com volume fixo
, de modo a minimizar o custo do material. Informações dadas:
- A base é quadrada de lado
(m). - A altura é
(m). - Volume fixo:
. - Custo do material do fundo e da tampa:
reais por metro quadrado. - Custo do material das laterais:
reais por metro quadrado.
As perguntas são: obtere que minimizam o custo total do material, respeitando o volume dado.
Passo 2
Calcular as áreas que aparecem no custo e montar a expressão do custo total em função de
e
.
- Área de cada base (fundo ou tampa) é
. - Há duas bases (tampa + fundo), portanto área total das bases é
. - Área total das quatro laterais é
.
Agora multiplicar cada área pelo respectivo custo por metro quadrado:
- Custo das duas bases: custo por área
reais/m vezes área , portanto reais. - Custo das laterais: custo por área
reais/m vezes área , portanto reais.
Assim o custo total é
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar uma variável (isso transforma o problema numa minimização de função de uma variável).
A restrição é
Isolando
,
(Explicação: multiplicando
por
obtém-se o volume; como o volume é conhecido, podemos dividir ambos os lados por
para achar
em função de
.)
Passo 4
Substituir
na expressão do custo para obter
como função de
apenas.
Substituindo na expressão do custo:
Calcular o segundo termo:
Portanto
(Observação:
deve ser positivo pois é uma medida de comprimento.)
Passo 5
Encontrar o mínimo de
diferenciando e igualando a zero (condição de ponto crítico).
Calcule a derivada primeira. Usar regras básicas: derivada de
é
; derivada de
é
.
Colocar igual a zero para encontrar pontos críticos:
Multiplicar ambos os lados por
(válido para
):
Isolando
:
Tomando raiz cúbica:
Valor aproximado (útil para interpretação):
Passo 6
Verificar que o ponto crítico é mínimo usando a segunda derivada.
Calcule a segunda derivada:
Para
temos
, logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global. Em particular, em
a segunda derivada é positiva, confirmando mínimo.
Passo 7
Calcular
correspondente usando a restrição do volume.
Usar
com
. Podemos simplificar algebricamente:
Fazendo manipulação com potências fracionárias obtém-se uma forma mais compacta:
Valor aproximado:
(Verificação numérica rápida:
e então
, e
, OK.)
Passo 8
Interpretação final e cheque rápido de plausibilidade.
- A caixa ótima tem base relativamente larga (
) e altura menor ( ). Faz sentido: como o material das laterais é mais caro por área, reduzir a área lateral (baixando a altura e aumentando a base, mantendo o volume) reduz custo total. - Todos os passos usam noções básicas: área, volume, custo proporcional à área, substituição pela restrição e cálculo de mínimo via derivada.