Deseja-se construir uma caixa em forma de prisma retangular, com base quadrada de lado L e altura h, cujo volume é 5 m^{3}.
O material do fundo e da tampa custa 2 reais o m^{2}, ao passo que o material das laterais custa 5 reais o m^{2}.
Obtenha as dimensões L e h da caixa que minimizam o custo total do material.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre as dimensões L e h (onde L é o lado da base quadrada e h é a altura) de uma caixa prisma retangular com volume fixo 5\\ \text{m}^3, de modo a minimizar o custo do material. Informações dadas:
  • A base é quadrada de lado L (m).
  • A altura é h (m).
  • Volume fixo: L^{2}h=5\\ \text{m}^3.
  • Custo do material do fundo e da tampa: 2 reais por metro quadrado.
  • Custo do material das laterais: 5 reais por metro quadrado.
    As perguntas são: obter L e h que minimizam o custo total do material, respeitando o volume dado.

Passo 2

Calcular as áreas que aparecem no custo e montar a expressão do custo total em função de L e h.
  • Área de cada base (fundo ou tampa) é L^{2}.
  • Há duas bases (tampa + fundo), portanto área total das bases é 2L^{2}.
  • Área total das quatro laterais é 4\cdot(L\cdot h)=4Lh.
Agora multiplicar cada área pelo respectivo custo por metro quadrado:
  • Custo das duas bases: custo por área 2 reais/m ^2 vezes área 2L^{2}, portanto \text{custo\_bases} = 2\cdot(2L^{2}) = 4L^{2} reais.
  • Custo das laterais: custo por área 5 reais/m ^2 vezes área 4Lh, portanto \text{custo\_laterais} = 5\cdot(4Lh)=20Lh reais.
Assim o custo total é
C(L,h)=4L^{2}+20Lh.

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar uma variável (isso transforma o problema numa minimização de função de uma variável).
A restrição é
L^{2}h=5.
Isolando h,
h=\frac{5}{L^{2}}.
(Explicação: multiplicando L^{2} por h obtém-se o volume; como o volume é conhecido, podemos dividir ambos os lados por L^{2} para achar h em função de L.)

Passo 4

Substituir h=\dfrac{5}{L^{2}} na expressão do custo para obter C como função de L apenas.
Substituindo na expressão do custo:
C(L)=4L^{2}+20L\left(\frac{5}{L^{2}}\right).
Calcular o segundo termo:
20L\cdot\frac{5}{L^{2}}=\frac{100}{L}.
Portanto
C(L)=4L^{2}+\frac{100}{L},\qquad L>0.
(Observação: L deve ser positivo pois é uma medida de comprimento.)

Passo 5

Encontrar o mínimo de C(L) diferenciando e igualando a zero (condição de ponto crítico).
Calcule a derivada primeira. Usar regras básicas: derivada de L^{2} é 2L; derivada de L^{-1} é -L^{-2}.
C'(L)=\frac{d}{dL}\left(4L^{2}\right)+\frac{d}{dL}\left(100L^{-1}\right)=8L-100L^{-2}.
Colocar igual a zero para encontrar pontos críticos:
8L-100L^{-2}=0.
Multiplicar ambos os lados por L^{2} (válido para L>0):
8L^{3}-100=0 \quad\Rightarrow\quad 8L^{3}=100.
Isolando L^{3}:
L^{3}=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}.
Tomando raiz cúbica:
L=\sqrt[3]{\frac{25}{2}}.
Valor aproximado (útil para interpretação): \sqrt[3]{12{,}5}\approx 2{,}32\\ \text{m}.

Passo 6

Verificar que o ponto crítico é mínimo usando a segunda derivada.
Calcule a segunda derivada:
C''(L)=\frac{d}{dL}\left(8L-100L^{-2}\right)=8+200L^{-3}.
Para L>0 temos C''(L)>0, logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global. Em particular, em L=\sqrt[3]{25/2} a segunda derivada é positiva, confirmando mínimo.

Passo 7

Calcular h correspondente usando a restrição do volume.
Usar h=\dfrac{5}{L^{2}} com L=\sqrt[3]{\dfrac{25}{2}}. Podemos simplificar algebricamente:
h=\frac{5}{\left(\sqrt[3]{\dfrac{25}{2}}\right)^{2}}=\frac{5}{\sqrt[3]{\left(\dfrac{25}{2}\right)^{2}}}.
Fazendo manipulação com potências fracionárias obtém-se uma forma mais compacta:
h=\sqrt[3]{\frac{4}{5}}.
Valor aproximado:
h\approx 0{,}928\\ \text{m}.
(Verificação numérica rápida: L\approx2{,}32\Rightarrow L^{2}\approx5{,}3824 e então h=5/L^{2}\approx0{,}928, e L^{2}h\approx5, OK.)

Passo 8

Interpretação final e cheque rápido de plausibilidade.
  • A caixa ótima tem base relativamente larga ( \approx2{,}32\\ \text{m}) e altura menor ( \approx0{,}93\\ \text{m}). Faz sentido: como o material das laterais é mais caro por área, reduzir a área lateral (baixando a altura e aumentando a base, mantendo o volume) reduz custo total.
  • Todos os passos usam noções básicas: área, volume, custo proporcional à área, substituição pela restrição e cálculo de mínimo via derivada.

Resposta

L=\sqrt[3]{\dfrac{25}{2}}\approx2{,}32\\ \text{m}
h=\sqrt[3]{\dfrac{4}{5}}\approx0{,}928\\ \text{m}

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