Seja
Obtenha os valores máximo e mínimo de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores máximo e mínimo de
no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por
. - O domínio natural da função exclui
(pois o denominador seria zero). - O intervalo onde queremos extremos é
. - As perguntas a responder são: qual é o valor mínimo de
em e em que ele ocorre; qual é o valor máximo de em e em que ele ocorre.
Passo 2
Condição para garantir que podemos procurar extremos por derivada: em um intervalo fechado e limitado, se a função é contínua então atinge máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). Verifico continuidade em
.
A função
é uma função racional com denominador
. O ponto proibido é
, que não pertence a
. Portanto
é contínua em todo
e também diferenciável em
. Assim os extremos em
ocorrem apenas nos pontos críticos (onde
ou
não existe) dentro do intervalo ou nas extremidades
e
.
Passo 3
Para facilitar a derivação, faço a divisão polinomial (ou reescrevo a fração). Division:
logo
Essa forma é útil porque a derivada de
é
e a derivada de
é direta de calcular.
Passo 4
Calculo a derivada e explico a regra usada. Para um quociente
a regra do quociente diz que
Usei em parte a ideia do quociente, mas como já transformei
, uso derivadas simples:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (regra da cadeia: ).
Portanto
Passo 5
Encontro os pontos críticos resolvendo
e verifico onde
não existe.
Resolvo
que dá
Assim
, ou seja
ou
.
O ponto
está fora do intervalo
, então não nos interessa. O ponto
está dentro de
e é um ponto crítico. Também verifico onde
não existe:
só não existe em
, que está fora do intervalo. Logo os candidatos a extremos em
são:
(extremo esquerdo),
(ponto crítico interno) e
(extremo direito).
Passo 6
Avalio a função nesses pontos candidatos.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Portanto os valores obtidos são
,
e
.
Passo 7
Para confirmar a natureza do ponto crítico
, analiso o sinal de
. Reescrevendo
Observações úteis:
- O denominador
é sempre positivo (exceto em , onde é zero). - Assim o sinal de
é o mesmo do numerador .
No intervalo relevante
:
- Para
em , temos e , então e portanto — função decrescente ali. - Para
em , temos e , então e portanto — função crescente ali.
Logo a função decresce até
e cresce depois:
é um mínimo local. Como os valores nos endpoints são maiores (
), esse mínimo local é também o mínimo global no intervalo.
Passo 8
Comparando os valores avaliados em
Passo 9
- O menor valor encontrado em
é em . - Os maiores valores encontrados são
em e em .
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: em
e
Máximo: