Seja
f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}
Obtenha os valores máximo e mínimo de f no intervalo [-1,2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}
e pede os valores máximo e mínimo de f no intervalo [-1,2].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}.
  • O domínio natural da função exclui x=-2 (pois o denominador seria zero).
  • O intervalo onde queremos extremos é [-1,2].
  • As perguntas a responder são: qual é o valor mínimo de f em [-1,2] e em que x ele ocorre; qual é o valor máximo de f em [-1,2] e em que x ele ocorre.

Passo 2

Condição para garantir que podemos procurar extremos por derivada: em um intervalo fechado e limitado, se a função é contínua então atinge máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). Verifico continuidade em [-1,2].
A função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2} é uma função racional com denominador x+2. O ponto proibido é x=-2, que não pertence a [-1,2]. Portanto \,f é contínua em todo [-1,2] e também diferenciável em (-1,2). Assim os extremos em [-1,2] ocorrem apenas nos pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) dentro do intervalo ou nas extremidades x=-1 e x=2.

Passo 3

Para facilitar a derivação, faço a divisão polinomial (ou reescrevo a fração). Division:
x^{2}=(x+2)(x-2)+4,
logo
\frac{x^{2}}{x+2}=x-2+\frac{4}{x+2}.
Essa forma é útil porque a derivada de x-2 é 1 e a derivada de \dfrac{4}{x+2} é direta de calcular.

Passo 4

Calculo a derivada e explico a regra usada. Para um quociente g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} a regra do quociente diz que
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Usei em parte a ideia do quociente, mas como já transformei \,f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+2}, uso derivadas simples:
  • A derivada de x-2 é 1.
  • A derivada de \dfrac{4}{x+2} é -\dfrac{4}{(x+2)^{2}} (regra da cadeia: 4\cdot (x+2)^{-1}\Rightarrow -4(x+2)^{-2}).
Portanto
f'(x)=1-\frac{4}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Encontro os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verifico onde f' não existe.
Resolvo
1-\frac{4}{(x+2)^{2}}=0
que dá
\frac{4}{(x+2)^{2}}=1\quad\Rightarrow\quad (x+2)^{2}=4.
Assim x+2=\pm 2, ou seja x=0 ou x=-4.
O ponto x=-4 está fora do intervalo [-1,2], então não nos interessa. O ponto x=0 está dentro de [-1,2] e é um ponto crítico. Também verifico onde f' não existe: f' só não existe em x=-2, que está fora do intervalo. Logo os candidatos a extremos em [-1,2] são: x=-1 (extremo esquerdo), x=0 (ponto crítico interno) e x=2 (extremo direito).

Passo 6

Avalio a função nesses pontos candidatos.
  • Em x=-1:
f(-1)=\frac{(-1)^{2}}{-1+2}=\frac{1}{1}=1.
  • Em x=0:
f(0)=\frac{0^{2}}{0+2}=0.
  • Em x=2:
f(2)=\frac{2^{2}}{2+2}=\frac{4}{4}=1.
Portanto os valores obtidos são f(-1)=1, f(0)=0 e f(2)=1.

Passo 7

Para confirmar a natureza do ponto crítico x=0, analiso o sinal de f'(x). Reescrevendo
f'(x)=1-\frac{4}{(x+2)^{2}}=\frac{(x+2)^{2}-4}{(x+2)^{2}}=\frac{(x+2-2)(x+2+2)}{(x+2)^{2}}=\frac{(x)(x+4)}{(x+2)^{2}}.
Observações úteis:
  • O denominador (x+2)^{2} é sempre positivo (exceto em x=-2, onde é zero).
  • Assim o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador x(x+4).
No intervalo relevante [-1,2]:
  • Para x em [-1,0), temos x<0 e x+4>0, então x(x+4)<0 e portanto f'(x)<0 — função decrescente ali.
  • Para x em (0,2], temos x>0 e x+4>0, então x(x+4)>0 e portanto f'(x)>0 — função crescente ali.
Logo a função decresce até x=0 e cresce depois: x=0 é um mínimo local. Como os valores nos endpoints são maiores ( 1), esse mínimo local é também o mínimo global no intervalo.

Passo 8

Comparando os valores avaliados em

Passo 9

  • O menor valor encontrado em [-1,2] é 0 em x=0.
  • Os maiores valores encontrados são 1 em x=-1 e em x=2.

Resposta

Mínimo: 0 em x=0
Máximo: 1 em x=-1 e x=2

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