Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x)=|x^2-1|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=l|x^2-1r|
Para isso vamos usar a definição de valor absoluto: se g(x)>=0 então lvert g(x)rvert = g(x), e se g(x)<0 então lvert g(x)rvert = -,g(x). Aqui g(x)=x^2-1. Precisamos achar onde g muda de sinal e, em cada região, substituir f(x)=pm(x^2-1).

Passo 2

Encontrar as raízes de g(x)=x^2-1:
x^2-1=0Longrightarrow x=pm1
Esses valores partem a reta real em três intervalos:
-infty<x<-1, -1<= x<=1 e 1<x<infty.

Passo 3

Determinar o sinal de g(x)=x^2-1 em cada intervalo e escrever f em forma piecewise:
f(x)= x^2-1, & |x|>=1(g(x)>=0),[6pt] -(x^2-1)=1-x^2, & |x|<=1(g(x)<=0) ]

Passo 4

Descrever cada ramo do gráfico:
1. Para |x|>=1:
f(x)=x^2-1 é uma parábola voltada para cima, que em x=pm1 vale 0 e cresce quadráticamente conforme lvert xrvert aumenta.
2. Para |x|<=1:
f(x)=1-x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1) e intercepta o eixo x em x=pm1.

Passo 5

Unindo os ramos:
  • No ponto x=-1 e em x=1 ambos os ramos dão f(pm1)=0, garantindo continuidade.
  • Para x=0 o valor é f(0)=1.
O gráfico fica:
  • Um “teto” de parábola invertida entre -1 e 1, alcançando f(0)=1.
  • Dois “braços” de parábola normal fora desse intervalo, partindo de (pm1,0) e abrindo para cima.

Resposta

O gráfico de
com o ramo central (de ) voltado para baixo e vértice em , e os ramos laterais para cima partindo de .]

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