Esboce os gráficos das seguintes funções:
f(x)=|x^2-5 x+6|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=l|x^2-5x+6r|
Aqui o conteúdo é a função valor absoluto aplicada a uma quadrática. Para desenhar o gráfico, vamos:
  1. fatorar a quadrática interna e achar suas raízes;
  2. analisar onde ela é positiva ou negativa;
  3. escrever f em forma piecewise;
  4. identificar vértices e pontos-chave;
  5. traçar cada trecho no plano.

Passo 2

Fatoramos a expressão dentro do valor absoluto:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
Portanto as raízes são x=2 e x=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de x^2-5x+6:
– Para x<2, teste x=0: 0^2-0+6=6>0.
– Para 2<x<3, teste x=2,5: (2,5)^2-5cdot2,5+6=-0,25<0.
– Para x>3, teste x=4: 16-20+6=2>0.
Logo a quadrática é não negativa em (-infty,2]cup[3,infty) e negativa em (2,3). Assim
f(x)= x^2-5x+6, & x<=2 ou x>=3, -l(x^2-5x+6r), & 2<x<3

Passo 4

Precisamos dos pontos mais importantes:
– Interseções com o eixo x: (2,0) e (3,0).
– Valor em x=0: f(0)=|6|=6, ponto (0,6).
– Vértice da parabólica interna xv=tfrac52, com xv^2-5xv+6=-0,25.
No gráfico de f esse ponto vira l(2,5,;|-0,25|r)=(2,5,0,25).
– Outros pontos simétricos: f(1)=2 e f(4)=2.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • No intervalo (-infty,2] segue a parábola original y=x^2-5x+6, decrescendo até (2,0).
  • Em [2,3] o trecho que ficaria abaixo do eixo é refletido para cima: liga (2,0) a (2,5,0,25) e a (3,0), formando um arco com concavidade para baixo.
  • Para x>=3 retoma a parábola original y=x^2-5x+6, crescendo a partir de (3,0).
    Marque também (0,6), (1,2), (4,2) e (5,6) para orientar o traçado.

Resposta

O gráfico de f é a parábola y=x^2-5x+6 para x<=2 e x>=3, e no trecho 2<x<3 ela é espelhada acima do eixo x, com vértice em l(2,5,0,25r) e nós de interseção em (2,0) e (3,0).

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