Seja
dada por
.
(a) Mostre que
é injetora.
(b) Considerando a função bijetora
, determine a expressão de
e o seu respectivo domínio.
(a) Mostre que
(b) Considerando a função bijetora
Passo 1
O enunciado define a função
Pede (a) mostrar que
é injetora e (b), tratando
como bijeção de
em
, encontrar
e seu domínio. Vamos usar propriedades da função exponencial e resolução algébrica para achar a inversa.
Passo 2
Para provar que
é injetora, suponha que
Isso dá
Como a função
é estritamente crescente em
, temos
, logo
. Portanto
é injetora.
Passo 3
Antes de inverter, identifiquemos a imagem de
. Para todo
,
, então
Quando
,
, logo
. E quando
,
. Assim
Passo 4
Para achar
, escreva
e resolva em
:
Portanto
com domínio
, i.e.\ .
Resposta
(a)
é injetora, pois
implica
e daí
.
(b)
(b)