Seja f: R R dada por f(x)=2^x-1+3.
(a) Mostre que f é injetora.
(b) Considerando a função bijetora f: R Im f, determine a expressão de f^-1 e o seu respectivo domínio.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=2^,x-1+3
Pede (a) mostrar que f é injetora e (b), tratando f como bijeção de R em Im,f, encontrar f^-1 e seu domínio. Vamos usar propriedades da função exponencial e resolução algébrica para achar a inversa.

Passo 2

Para provar que f é injetora, suponha que
f(x1)=f(x2)
Isso dá
2^,x1-1+3 ;=;2^,x2-1+3 Longrightarrow 2^,x1-1=2^,x2-1
Como a função 2^t é estritamente crescente em R, temos x1-1=x2-1, logo x1=x2. Portanto f é injetora.

Passo 3

Antes de inverter, identifiquemos a imagem de f. Para todo xinR, 2^,x-1>0, então
f(x)=2^,x-1+3>3
Quando xto -infty, 2^,x-1to0^+, logo f(x)to3^+. E quando xto+infty, f(x)to+infty. Assim
Im,f=(3,infty)

Passo 4

Para achar , escreva e resolva em :
Portanto
com domínio , i.e.\ .

Resposta

(a) é injetora, pois implica e daí .
(b)

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