Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Esboçar o gráfico (ou seja: descrever como é a parábola, onde fica o vértice, interseções com eixos, etc.).
- Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores de saída) dessa função.
Informações dadas:
- A função é um polinômio quadrático de coeficientes explícitos:
.
Passo 2
Identificar os coeficientes e o que eles significam (isto ajuda a entender a forma da parábola).
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - Termo constante:
.
O sinal de
determina se a parábola abre para cima ou para baixo:
- Como
, a parábola abre para cima (tem um mínimo).
Passo 3
Achar o vértice (ponto mínimo) da parábola. Duas maneiras comuns: fórmula do vértice e completar o quadrado. Vou fazer os dois, explicando bem.
Fórmula direta: a abscissa do vértice é
Aqui
e
, então
A ordenada do vértice é
. Calculando
Logo o vértice é o ponto
e esse é o valor mínimo da função.
Completar o quadrado (para ver a forma “vértice” explicitamente):
Começa-se por fatorar dos termos quadrático e linear:
Começa-se por fatorar
Agora completa-se o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Essa forma mostra claramente que a parábola é
vezes
deslocada para baixo em
, confirmando vértice em
e mínimo
.
Passo 4
Encontrar interseções com os eixos (pontos úteis para esboçar).
Interseção com o eixo
(quando
):
Então o ponto
é o corte com o eixo
.
Interseções com o eixo
(raízes), resolvendo
:
Primeiro simplificar dividindo por :
Primeiro simplificar dividindo por
Fatorando:
Logo as raízes são
e
. Os pontos de corte com o eixo
são
e
.
Observação: o eixo de simetria é exatamente o ponto médio entre
e
, como esperado.
Observação: o eixo de simetria
Passo 5
Interpretar tudo isso para esboçar o gráfico (passo a passo prático para desenhar à mão, sem calculadora):
- Desenhe dois eixos ortogonais
e . - Marque o vértice em
— é o ponto mais baixo da parábola. - Trace a reta de simetria vertical
(opcional, ajuda no esboço). - Marque os pontos de corte com o eixo
: e . - Marque o ponto de corte com o eixo
: . Note que é bem alto; isso dá a curvatura para cima. - Desenhe uma curva suave em forma de U que passa por
, desce até e sobe passando por , simétrica em relação a .
Dica de escala: como o vértice tem ordenadae o ponto -intercept é , escolha unidades verticais que permitam visualizar os dois (por exemplo, 1 unidade por quadradinho).
Passo 6
Verificação com o discriminante (interpretação das raízes):
O discriminante é .
Aqui
O discriminante é
Aqui
Como
e é um quadrado perfeito (
), há duas raízes reais distintas e racionais — que já encontramos:
e
. Isso confirma que a parábola cruza o eixo
em dois pontos distintos.
Passo 7
Determinar domínio e imagem com explicação:
- Domínio: polinômios estão definidos para todo número real, então o domínio é
- Imagem: como a parábola abre para cima (
) e o valor mínimo é , a imagem é todos os valores maiores ou iguais a . Em notação de intervalo:
Resposta
Domínio:
Imagem: