Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=3 x^{2}-12 x+9

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=3x^{2}-12x+9:
  • Esboçar o gráfico (ou seja: descrever como é a parábola, onde fica o vértice, interseções com eixos, etc.).
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores de saída) dessa função.
Informações dadas:
  • A função é um polinômio quadrático de coeficientes explícitos: 3x^{2}-12x+9.

Passo 2

Identificar os coeficientes e o que eles significam (isto ajuda a entender a forma da parábola).
  • Coeficiente quadrático: a=3.
  • Coeficiente linear: b=-12.
  • Termo constante: c=9.
O sinal de a determina se a parábola abre para cima ou para baixo:
  • Como a=3>0, a parábola abre para cima (tem um mínimo).

Passo 3

Achar o vértice (ponto mínimo) da parábola. Duas maneiras comuns: fórmula do vértice e completar o quadrado. Vou fazer os dois, explicando bem.
Fórmula direta: a abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui b=-12 e a=3, então
x_v = -\frac{-12}{2\cdot 3} = \frac{12}{6} = 2.
A ordenada do vértice é f(x_v). Calculando
f(2)=3\cdot 2^{2}-12\cdot 2+9 = 3\cdot 4 -24 +9 = 12-24+9 = -3.
Logo o vértice é o ponto (2,-3) e esse é o valor mínimo da função.
Completar o quadrado (para ver a forma “vértice” explicitamente):
Começa-se por fatorar a dos termos quadrático e linear:
f(x)=3x^{2}-12x+9 = 3\bigl(x^{2}-4x\bigr)+9.
Agora completa-se o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Substituindo:
f(x)=3\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)+9 = 3(x-2)^{2}-12+9 = 3(x-2)^{2}-3.
Essa forma mostra claramente que a parábola é 3 vezes (x-2)^{2} deslocada para baixo em 3, confirmando vértice em (2,-3) e mínimo -3.

Passo 4

Encontrar interseções com os eixos (pontos úteis para esboçar).
Interseção com o eixo y (quando x=0):
f(0)=3\cdot 0^{2}-12\cdot 0+9 = 9.
Então o ponto (0,9) é o corte com o eixo y.
Interseções com o eixo x (raízes), resolvendo f(x)=0:
Primeiro simplificar dividindo por 3:
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes são x=1 e x=3. Os pontos de corte com o eixo x são (1,0) e (3,0).
Observação: o eixo de simetria x=2 é exatamente o ponto médio entre 1 e 3, como esperado.

Passo 5

Interpretar tudo isso para esboçar o gráfico (passo a passo prático para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe dois eixos ortogonais x e y.
  2. Marque o vértice em (2,-3) — é o ponto mais baixo da parábola.
  3. Trace a reta de simetria vertical x=2 (opcional, ajuda no esboço).
  4. Marque os pontos de corte com o eixo x: (1,0) e (3,0).
  5. Marque o ponto de corte com o eixo y: (0,9). Note que é bem alto; isso dá a curvatura para cima.
  6. Desenhe uma curva suave em forma de U que passa por (1,0), desce até (2,-3) e sobe passando por (3,0), simétrica em relação a x=2.
    Dica de escala: como o vértice tem ordenada -3 e o ponto y-intercept é 9, escolha unidades verticais que permitam visualizar os dois (por exemplo, 1 unidade por quadradinho).

Passo 6

Verificação com o discriminante (interpretação das raízes):
O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui
\Delta = (-12)^{2}-4\cdot 3\cdot 9 = 144 - 108 = 36.
Como \Delta>0 e é um quadrado perfeito ( 36=6^{2}), há duas raízes reais distintas e racionais — que já encontramos: 1 e 3. Isso confirma que a parábola cruza o eixo x em dois pontos distintos.

Passo 7

Determinar domínio e imagem com explicação:
  • Domínio: polinômios estão definidos para todo número real, então o domínio é
\text{Domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í
  • Imagem: como a parábola abre para cima ( a=3>0) e o valor mínimo é f(2)=-3, a imagem é todos os valores maiores ou iguais a -3. Em notação de intervalo:
\text{Imagem}=\left[-3,\infty\right).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left[-3,\infty\right)

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