Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado fornece a função quadrática
e pede duas coisas:
- Esboçar o gráfico da função (parábola).
- Determinar o domínio e a imagem (range) da função.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Identificar os coeficientes e a forma geral da parábola.
Uma função quadrática tem a forma geral
onde
,
e
são números reais. Aqui:
Interpretação imediata:
- Como
, a parábola abre-se para cima (tem um mínimo). - O termo
é o valor de , portanto o intercepto em será .
Passo 3
Encontrar o vértice da parábola completando o quadrado (método direto e didático).
Partimos de
Para completar o quadrado, tomamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por
e elevamos ao quadrado:
Agora escrevemos
como um quadrado perfeito menos o ajuste:
Assim obtemos a forma vértice:
Explicação do que isso significa:
- A forma
tem vértice em . Aqui e . - Portanto o vértice é
e esse é o ponto de mínimo da parábola porque ela abre para cima.
Passo 4
Verificar o eixo de simetria e relacionar com a fórmula do vértice.
O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice:
.
Como checagem alternativa (fórmula comum do vértice):
o que coincide com o resultado do passo anterior.
Passo 5
Calcular os interceptos com os eixos para ajudar o esboço.
Intercepto em
(colocar
):
logo o ponto
está no gráfico.
Interceptos em
(resolver
):
portanto
ou
. Os interceptos em
são
e
.
Observação: os interceptos são simétricos em relação ao eixo
(média de
e
é
).
Passo 6
Calcular alguns pontos adicionais para um esboço mais preciso e mostrar simetria.
Escolher pontos próximos ao vértice:
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
. Esses dois pontos são simétricos em relação a
.
Outro ponto mais à esquerda, por exemplo
:
logo
. Simetricamente, para
também se terá
.
Passo 7
Como esboçar o gráfico (instruções práticas passo-a-passo, sem cálculo de muitos pontos):
- Desenhar os eixos
e . - Marcar o vértice em
. - Desenhar a reta de simetria vertical
como referência pontilhada. - Marcar os interceptos
e . - Marcar os pontos
e para ter a “boca” da parábola próxima ao vértice. - Marcar um ponto distante como
(e ) para ver a abertura. - Ligar suavemente os pontos em forma de U voltado para cima, garantindo que a curva atinge o mínimo em
.
Dica prática: o vértice é o ponto mais baixo; os interceptos mostram onde cruza o eixo
; dois pontos simétricos ajudam a dar a forma correta.
Passo 8
Determinar domínio e imagem (range) da função com explicação didática.
Domínio:
- Uma função polinomial (como quadrática) está definida para todo
. - Portanto o domínio é
]
Resposta
Domínio:
Imagem: