Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=x^{2}-4 x

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática f(x)=x^{2}-4x e pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico da função (parábola).
  • Determinar o domínio e a imagem (range) da função.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}-4x. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Identificar os coeficientes e a forma geral da parábola.
Uma função quadrática tem a forma geral
f(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são números reais. Aqui:
a=1,\qquad b=-4,\qquad c=0.
Interpretação imediata:
  • Como a=1>0, a parábola abre-se para cima (tem um mínimo).
  • O termo c é o valor de f(0), portanto o intercepto em y será f(0)=c.

Passo 3

Encontrar o vértice da parábola completando o quadrado (método direto e didático).
Partimos de
f(x)=x^{2}-4x.
Para completar o quadrado, tomamos o coeficiente de x, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
\left(\frac{-4}{2}\right)^{2}=(-2)^{2}=4.
Agora escrevemos x^{2}-4x como um quadrado perfeito menos o ajuste:
x^{2}-4x = (x^{2}-4x+4)-4 = (x-2)^{2}-4.
Assim obtemos a forma vértice:
f(x)=(x-2)^{2}-4.
Explicação do que isso significa:
  • A forma (x-h)^{2}+k tem vértice em (h,k). Aqui h=2 e k=-4.
  • Portanto o vértice é (2,-4) e esse é o ponto de mínimo da parábola porque ela abre para cima.

Passo 4

Verificar o eixo de simetria e relacionar com a fórmula do vértice.
O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice: \,x=2.
Como checagem alternativa (fórmula comum do vértice):
x_{\text{vértice}}=-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2\cdot1}= \dfrac{4}{2}=2,é
o que coincide com o resultado do passo anterior.

Passo 5

Calcular os interceptos com os eixos para ajudar o esboço.
Intercepto em y (colocar x=0):
f(0)=0^{2}-4\cdot0=0,
logo o ponto (0,0) está no gráfico.
Interceptos em x (resolver f(x)=0):
x^{2}-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-4)=0,
portanto x=0 ou x=4. Os interceptos em x são (0,0) e (4,0).
Observação: os interceptos são simétricos em relação ao eixo x=2 (média de 0 e 4 é 2).

Passo 6

Calcular alguns pontos adicionais para um esboço mais preciso e mostrar simetria.
Escolher pontos próximos ao vértice:
  • Para x=1:
f(1)=1^{2}-4\cdot1=1-4=-3,
logo (1,-3).
  • Para x=3:
f(3)=9-12=-3,
logo (3,-3). Esses dois pontos são simétricos em relação a x=2.
Outro ponto mais à esquerda, por exemplo x=-1:
f(-1)=(-1)^{2}-4(-1)=1+4=5,
logo (-1,5). Simetricamente, para x=5 também se terá f(5)=5^{2}-20=25-20=5.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (instruções práticas passo-a-passo, sem cálculo de muitos pontos):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Marcar o vértice em (2,-4).
  3. Desenhar a reta de simetria vertical x=2 como referência pontilhada.
  4. Marcar os interceptos (0,0) e (4,0).
  5. Marcar os pontos (1,-3) e (3,-3) para ter a “boca” da parábola próxima ao vértice.
  6. Marcar um ponto distante como (-1,5) (e (5,5)) para ver a abertura.
  7. Ligar suavemente os pontos em forma de U voltado para cima, garantindo que a curva atinge o mínimo em (2,-4).
Dica prática: o vértice é o ponto mais baixo; os interceptos mostram onde cruza o eixo x; dois pontos simétricos ajudam a dar a forma correta.

Passo 8

Determinar domínio e imagem (range) da função com explicação didática.
Domínio:
  • Uma função polinomial (como quadrática) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\}\quad\text{ou}\quad\(-\infty,\infty\). Imagem (range): - Como a parábola abre para cima (\(a=1>0\)), o vértice em \((2,-4)\) fornece o valor mínimo de \(f\). - O menor valor de \(f(x)\) é \(f(2)=-4\). - Assim a imagem é todos os \(y\) tais que \(y\ge -4\), ou seja \[ [-4,\infty).]

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [ -4,\infty )

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