Esboce os gráficos das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
O conteúdo necessário inclui: análise de domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos críticos e de inflexão.
Passo 2
Determinar domínio e interceptos. A função envolve
, então precisamos de
, isto é,
Não há intercepto com o eixo
(já que
não pertence ao domínio). O intercepto com o eixo
ocorre quando
, ou seja
Logo há um ponto
.
Passo 3
Analisar comportamento extremo (assíntotas).
- Quando
, e , então
indicando assíntota vertical em
.
2. Quando ,
cresce muito mais devagar que
, então
2. Quando
indicando assíntota horizontal
pela direita.
Passo 4
Estudar monotonicidade usando a primeira derivada. Reescrevendo
temos
A derivada se anula quando
Para
,
implica
(função crescente). Para
,
(função decrescente). Assim há máximo local em
, com
Passo 5
Estudar concavidade com a segunda derivada. A partir de
fazendo a derivada de
obtemos
O ponto de inflexão satisfaz
, ou seja
Para
,
(concavidade para baixo) e para
,
(concavidade para cima). O valor em
é
Passo 6
Reunindo as informações para o esboço:
- Domínio:
. - Assíntotas: vertical em
, horizontal quando . - Intercepto:
. - Máximo local em
. - Ponto de inflexão em
. - Cresce de
até , depois decresce para a assíntota . - Concavidade muda de para baixo (até
) para cima (para frente).
Passo 7
Esboce um eixo
, marque
(assíntota vertical),
(zero),
(máximo),
(inflexão). Desenhe a curva saindo de
em
, subindo de forma côncava para baixo até o máximo, depois descendo ainda côncava para baixo até a inflexão, e então descendo de forma côncava para cima, aproximando-se de
positivamente.
Resposta
O gráfico de
tem:
- domínio
, assíntota vertical em , assíntota horizontal em ; - intercepto em
; - máximo local em
; - ponto de inflexão em
; - cresce em
, decresce em , com mudança de concavidade em .