Esboce os gráficos das seguintes funções.
y=2 ln (2 x)x

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
y = 2ln(2x)x
O conteúdo necessário inclui: análise de domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos críticos e de inflexão.

Passo 2

Determinar domínio e interceptos. A função envolve ln(2x), então precisamos de 2x>0, isto é,
x>0
Não há intercepto com o eixo y (já que x=0 não pertence ao domínio). O intercepto com o eixo x ocorre quando y=0, ou seja
ln(2x)=0 Longrightarrow 2x=1 Longrightarrow x=tfrac12
Logo há um ponto l(tfrac12,0r).

Passo 3

Analisar comportamento extremo (assíntotas).
  1. Quando xto0^+, ln(2x)to-infty e xto0^+, então
y = 2ln(2x)xto -infty,
indicando assíntota vertical em x=0.
2. Quando xto+infty, ln(2x)simln x cresce muito mais devagar que x, então
2ln(2x)xto0,
indicando assíntota horizontal y=0 pela direita.

Passo 4

Estudar monotonicidade usando a primeira derivada. Reescrevendo
y=2,ln(2x),x^-1,
temos
y' = 2l[(1/x),x^-1 + ln(2x),(-x^-2)r] = 2l(1-ln(2x)r)x^2
A derivada se anula quando
1-ln(2x)=0 Longrightarrow ln(2x)=1 Longrightarrow x=e2
Para 0<x<e/2, ln(2x)<1 implica y'>0 (função crescente). Para x>e/2, y'<0 (função decrescente). Assim há máximo local em x=e/2, com
yl(tfrac e2r) = 2ln(e)e/2 = 2cdot1e/2 = 4e

Passo 5

Estudar concavidade com a segunda derivada. A partir de
y' = 2l(1-ln(2x)r)x^2,
fazendo a derivada de y' obtemos
y'' = 2l(2ln(2x)-3r)x^3
O ponto de inflexão satisfaz 2ln(2x)-3=0, ou seja
ln(2x)=tfrac32 Longrightarrow x=e^3/22
Para x<e^3/2/2, y''<0 (concavidade para baixo) e para x>e^3/2/2, y''>0 (concavidade para cima). O valor em x=e^3/2/2 é
yl(tfrace^3/22r) = 2lnl(e^3/2r)e^3/2/2 = 2cdottfrac32e^3/2/2 = 6,e^-3/2

Passo 6

Reunindo as informações para o esboço:
  • Domínio: x>0.
  • Assíntotas: vertical em x=0, horizontal y=0 quando xto+infty.
  • Intercepto: l(tfrac12,0r).
  • Máximo local em l(tfrac e2,tfrac4er).
  • Ponto de inflexão em l(tfrace^3/22,6e^-3/2r).
  • Cresce de 0^+ até e/2, depois decresce para a assíntota y=0^+.
  • Concavidade muda de para baixo (até x=e^3/2/2) para cima (para frente).

Passo 7

Esboce um eixo x>0, marque x=0 (assíntota vertical), x=tfrac12 (zero), x=tfrac e2 (máximo), x=tfrace^3/22 (inflexão). Desenhe a curva saindo de -infty em xto0^+, subindo de forma côncava para baixo até o máximo, depois descendo ainda côncava para baixo até a inflexão, e então descendo de forma côncava para cima, aproximando-se de y=0 positivamente.

Resposta

O gráfico de y=tfrac2ln(2x)x tem:
  • domínio x>0, assíntota vertical em x=0, assíntota horizontal y=0 em xtoinfty;
  • intercepto em l(tfrac12,0r);
  • máximo local em l(tfrac e2,tfrac4er);
  • ponto de inflexão em l(tfrace^3/22,6e^-3/2r);
  • cresce em (0,e/2), decresce em (e/2,infty), com mudança de concavidade em x=e^3/2/2.

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