Esboce os gráficos das seguintes funções.
y=2 x^2 e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
y = 2,x^2 e^-x^2
Para isso vamos precisar de: domínio, simetria, interceptos, comportamento em xtopminfty, derivada para achar extremos e monotonia.

Passo 2

Domínio e intercepto com o eixo y:
  • O domínio é R, pois não há divisões nem raízes de índice par em denominador.
  • Em x=0,
y(0)=2cdot0^2e^-0^2=0,
logo o gráfico passa por (0,0).
Simetria:
f(-x)=2(-x)^2e^-(-x)^2=2x^2e^-x^2=f(x),
ou seja, a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Comportamento em xtopminfty:
Como x^2e^-x^2to0 quando lvert xrverttoinfty, temos
limxtopminfty2x^2e^-x^2=0
O gráfico tende a zero em ambas as extremidades.

Passo 4

Derivada e pontos críticos:
y' = ddxl(2x^2e^-x^2r) = l(4xr)e^-x^2 + 2x^2l(-2x e^-x^2r) = 4x,(1 - x^2),e^-x^2
Zeramos y'=0:
4x,(1 - x^2)=0 Longrightarrow x=0, x=pm1

Passo 5

Monotonia e extremos:
  • Para x<-1: x<0 e 1-x^2<0 Rightarrow y'>0 (função crescente).
  • Para -1<x<0: x<0 e 1-x^2>0 Rightarrow y'<0 (decrescente).
  • Para 0<x<1: x>0 e 1-x^2>0 Rightarrow y'>0 (crescente).
  • Para x>1: x>0 e 1-x^2<0 Rightarrow y'<0 (decrescente).
Logo:
  • Máximos locais em x=pm1, com
y(pm1)=2cdot1^2e^-1= 2eapprox0,736
  • Mínimo local em x=0, com y(0)=0.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • É uma curva positiva, simétrica em torno de y, que parte de yto0 quando xto -infty, cresce até ( -1,2/e ), decresce até (0,0), volta a crescer até (1,2/e) e decai de novo para zero quando xto+infty.

Resposta

O gráfico de y=2x^2e^-x^2 é uma curva par com dois “picos” em l(pm1,tfrac2er), zero em (0,0) e que decai para zero quando xtopminfty.

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