lim x 2 raiz[3]3 x+2-2raiz[3]10 x+7-3

Passo 1

A gente quer calcular
limxto2raiz[3]3x+2-2raiz[3]10x+7-3
Se eu já substituir x=2, o numerador e o denominador viram zero, ou seja, indeterminação 0/0. Então vamos usar a Regra de l’Hôpital: derivar numerador e denominador e depois reavaliar o limite.

Passo 2

Definimos
f(x)=raiz[3]3x+2-2 = (3x+2)^1/3-2
A derivada de u^1/3 é tfrac13u^-2/3u'. Aqui u=3x+2 e u'=3, logo
f'(x) = tfrac13(3x+2)^-2/3cdot 3 = (3x+2)^-2/3

Passo 3

Agora avaliamos em x=2:
f'(2) = (3cdot2+2)^-2/3 = 8^-2/3 = (8^1/3)^-2 = 2^-2 = 14

Passo 4

Definimos
g(x)=raiz[3]10x+7-3 = (10x+7)^1/3-3
Usando a mesma regra, com u=10x+7 e u'=10, temos
g'(x) = tfrac13(10x+7)^-2/3cdot 10 = 103,(10x+7)^-2/3

Passo 5

Avaliando em x=2:
g'(2) = 103,27^-2/3 = 103,(3^3)^-2/3 = 103,3^-2 = 1027

Passo 6

Pela Regra de l’Hôpital, o limite vale
limxto2raiz[3]3x+2-2raiz[3]10x+7-3 = f'(2)g'(2) = tfrac14tfrac1027 = 14cdot2710 = 2740

Resposta

2740

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