Esboce os gráficos das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo principal aqui é esboço de gráfico (análise de domínio, interceptos, limites, derivadas para monotonicidade e concavidade). Vamos precisar lembrar como calcular derivada e segunda derivada de uma função exponencial composta.
Passo 2
Determinar domínio, simetria e intercepto com eixo
:
- O domínio é todo o conjunto dos reais, pois
é definido para qualquer . - A função é par, ou seja, simétrica em torno do eixo
, pois implica - O intercepto em
ocorre em , onde
Passo 3
Analisar limites nas extremidades para ver o comportamento das “caudas”:
Isso mostra que a curva se aproxima de
quando
cresce muito, sem nunca tocar o eixo
.
Passo 4
Encontrar a derivada primeira para estudar monotonicidade:
As raízes de
ocorrem em
. Para
,
(funcão cresce); para
,
(função decresce). Logo, há um máximo local em
.
Passo 5
Calcular a derivada segunda para pontos de inflexão e concavidade:
Resolver
dá
Para
, tem-se
(concavidade para baixo) e, para
,
(concavidade para cima).
Passo 6
Juntando tudo, o esboço apresenta-se assim:
- Pico em
. - Cresce de
até e decresce de para a direita, simetricamente à esquerda. - Limita-se a zero nas extremidades, sem cortar o eixo
. - Pontos de inflexão em
.
Resposta
O gráfico é a clássica “curva em forma de sino” (Gaussiana), com máximo em
, tendendo a
quando
, simétrica e com inflexões em
.