Esboce os gráficos das seguintes funções.
y=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y = e^-x^2
O conteúdo principal aqui é esboço de gráfico (análise de domínio, interceptos, limites, derivadas para monotonicidade e concavidade). Vamos precisar lembrar como calcular derivada e segunda derivada de uma função exponencial composta.

Passo 2

Determinar domínio, simetria e intercepto com eixo y:
  • O domínio é todo o conjunto dos reais, pois -x^2 é definido para qualquer x.
  • A função é par, ou seja, simétrica em torno do eixo y, pois (-x)^2 = x^2 implica e^-(-x)^2 = e^-x^2
  • O intercepto em y ocorre em x=0, onde y(0) = e^-0^2 = e^0 = 1

Passo 3

Analisar limites nas extremidades para ver o comportamento das “caudas”:
limxto+infty e^-x^2 = 0, limxto-infty e^-x^2 = 0
Isso mostra que a curva se aproxima de y=0 quando lvert xrvert cresce muito, sem nunca tocar o eixo x.

Passo 4

Encontrar a derivada primeira para estudar monotonicidade:
y' = ddxl(e^-x^2r) = e^-x^2cdot(-2x) = -2x,e^-x^2
As raízes de y' ocorrem em x=0. Para x<0, y'>0 (funcão cresce); para x>0, y'<0 (função decresce). Logo, há um máximo local em x=0.

Passo 5

Calcular a derivada segunda para pontos de inflexão e concavidade:
y'' = ddxl(-2x,e^-x^2r) = -2,e^-x^2 + (-2x)cdot(-2x),e^-x^2 = e^-x^2l(-2 + 4x^2r)
Resolver y''=0
-2 + 4x^2 = 0 Longrightarrow x = pm 1raiz2
Para lvert xrvert<1/raiz2, tem-se y''<0 (concavidade para baixo) e, para lvert xrvert>1/raiz2, y''>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Juntando tudo, o esboço apresenta-se assim:
  • Pico em (0,1).
  • Cresce de 0 até x=0 e decresce de x=0 para a direita, simetricamente à esquerda.
  • Limita-se a zero nas extremidades, sem cortar o eixo x.
  • Pontos de inflexão em l(pm1/raiz2,,e^-1/2r).

Resposta

O gráfico é a clássica “curva em forma de sino” (Gaussiana), com máximo em (0,1), tendendo a y=0 quando lvert xrverttoinfty, simétrica e com inflexões em x=pm1/raiz2.

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