Esboce os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função polinomial ímpar de grau 5
Conteúdo: estudo de derivadas para encontrar extremos, pontos de inflexão e análise de comportamento em ±∞.
Passo 2
Calcular a derivada primeira para achar pontos críticos. Temos
Derivando,
Os pontos em que
são
Passo 3
Classificar extremos usando sinal de
ou segunda derivada. Segunda derivada:
Em
temos inflexão (mudança de concavidade). Em
:
- Para
, (máximo local). - Para
, (mínimo local).
Passo 4
Determinar interceptos e valores:
- Zeros da função: resolver
dá . Esses são os pontos em que o gráfico cruza o eixo . - Valores em extremos:
Numericamente,
(máx.) e
(mín.).
Passo 5
Analisar comportamento em ±infinito e construir esboço.
- Para
, . - Para
, .
Juntando tudo: zeros em
, máximo local em
, mínimo local em
, inflexões em
e
.
Passo 6
Esboçar o gráfico ligando suavemente esses pontos com a concavidade adequada: sobe para a esquerda de
, cruza em
, atinge máximo em
, desce cruzando em
, troca concavidade, atinge mínimo em
, cruza em
e cresce para
.
Resposta
O esboço mostra um polinômio ímpar de grau 5 com raízes em x=–1, 0, 1; máximo local em (–√(3/5), +0,186); mínimo local em (+√(3/5), –0,186); pontos de inflexão em x=0 e em x=±√(3/10); comportamento para x→±∞: y→±∞. O gráfico levanta à esquerda de x=–1, faz um pico, desce passando por 0, faz vale, cruza em x=1 e cresce indefinidamente.