Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=x 5-x 3 y=x^wed>= 5-x^wed>= 3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função polinomial ímpar de grau 5
Conteúdo: estudo de derivadas para encontrar extremos, pontos de inflexão e análise de comportamento em ±∞.

Passo 2

Calcular a derivada primeira para achar pontos críticos. Temos
y = x^5 - x^3
Derivando,
y' = 5x^4 - 3x^2 = x^2(5x^2 - 3)
Os pontos em que y'=0 são
x=0, 5x^2-3=0Rightarrow x=pmraiz3/5

Passo 3

Classificar extremos usando sinal de y' ou segunda derivada. Segunda derivada:
y'' = ddx(5x^4-3x^2)=20x^3-6x=2x(10x^2-3)
Em x=0 temos inflexão (mudança de concavidade). Em x=pmraiz3/5approxpm0,775:
  • Para x=-raiz3/5, y''<0 (máximo local).
  • Para x=+raiz3/5, y''>0 (mínimo local).

Passo 4

Determinar interceptos e valores:
  • Zeros da função: resolver x^5-x^3= x^3(x^2-1)=0 x=0,pm1. Esses são os pontos em que o gráfico cruza o eixo x.
  • Valores em extremos:
yl(pmraiz3/5r)=l(pmraiz3/5r)^5-l(pmraiz3/5r)^3
Numericamente, y(-0,775)approx+0,186 (máx.) e y(+0,775)approx-0,186 (mín.).

Passo 5

Analisar comportamento em ±infinito e construir esboço.
  • Para xto+infty, yto+infty.
  • Para xto-infty, yto-infty.
Juntando tudo: zeros em -1,0,1, máximo local em xapprox-0,775, mínimo local em xapprox+0,775, inflexões em x=0 e x=pmraiz3/10approxpm0,548.

Passo 6

Esboçar o gráfico ligando suavemente esses pontos com a concavidade adequada: sobe para a esquerda de -1, cruza em -1, atinge máximo em -0,775,0,186, desce cruzando em 0, troca concavidade, atinge mínimo em 0,775,-0,186, cruza em 1 e cresce para +infty.

Resposta

O esboço mostra um polinômio ímpar de grau 5 com raízes em x=–1, 0, 1; máximo local em (–√(3/5), +0,186); mínimo local em (+√(3/5), –0,186); pontos de inflexão em x=0 e em x=±√(3/10); comportamento para x→±∞: y→±∞. O gráfico levanta à esquerda de x=–1, faz um pico, desce passando por 0, faz vale, cruza em x=1 e cresce indefinidamente.

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