Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=x 3-3 x 2 y=x^wed>= 3-3 x^wed>= 2

Passo 1

A questão pede o esboço do gráfico da função y = x^3 - 3x^2. O conteúdo é análise de funções: vamos precisar estudar domínio, interceptos com os eixos, derivadas para monotonicidade e concavidade, além do comportamento nos extremos.

Passo 2

O domínio de y = x^3 - 3x^2 é todo R. Para os interceptos com o eixo x, resolvemos x^3 - 3x^2 = 0, logo x^2(x - 3)=0 com raízes x=0 (multiplicidade 2) e x=3. O intercepto com o eixo y é y(0)=0.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
f'(x) = ddx(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)

Passo 4

Determinar o sinal de f'(x): para x<0, f'(x)>0 (função cresce); para 0, f'(x)<0 (decresce); para x>2, f'(x)>0 (cresce). Assim há máximo local em x=0 e mínimo local em x=2.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x) = ddx(3x^2 - 6x) = 6x - 6

Passo 6

Igualando f''(x)=0 obtemos x=1, que é ponto de inflexão. Para x<1, f''(x)<0 (concavidade voltada para baixo) e para x>1, f''(x)>0 (concavidade voltada para cima).

Passo 7

Resumindo os pontos notáveis:
  • Raízes: (0,0) (tangente horizontal), (3,0).
  • Máximo local: (0,0).
  • Mínimo local: (2,-4).
  • Ponto de inflexão: (1,-2).
  • Comportamento no infinito: yto -infty quando xto -infty e yto +infty quando xto +infty.

Passo 8

Agora basta posicionar esses pontos e conectar respeitando monotonicidade e concavidade para obter o esboço da cúbica.

Resposta

O gráfico de y = x^3 - 3x^2 cresce até (0,0), decresce até (2,-4), depois cresce novamente; tem ponto de inflexão em (1,-2); zeros em x=0 (multiplicidade 2) e x=3.

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