Esboce os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
A questão pede o esboço do gráfico da função
. O conteúdo é análise de funções: vamos precisar estudar domínio, interceptos com os eixos, derivadas para monotonicidade e concavidade, além do comportamento nos extremos.
Passo 2
O domínio de
é todo
. Para os interceptos com o eixo
, resolvemos
, logo
com raízes
(multiplicidade 2) e
. O intercepto com o eixo
é
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para estudar monotonicidade:
Passo 4
Determinar o sinal de
: para
,
(função cresce); para
,
(decresce); para
,
(cresce). Assim há máximo local em
e mínimo local em
.
Passo 5
Calculamos a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
Passo 6
Igualando
obtemos
, que é ponto de inflexão. Para
,
(concavidade voltada para baixo) e para
,
(concavidade voltada para cima).
Passo 7
Resumindo os pontos notáveis:
- Raízes:
(tangente horizontal), . - Máximo local:
. - Mínimo local:
. - Ponto de inflexão:
. - Comportamento no infinito:
quando e quando .
Passo 8
Agora basta posicionar esses pontos e conectar respeitando monotonicidade e concavidade para obter o esboço da cúbica.
Resposta
O gráfico de
cresce até
, decresce até
, depois cresce novamente; tem ponto de inflexão em
; zeros em
(multiplicidade 2) e
.