No grupo S3, considere o subgrupo gerado pela permutação (1 2). Liste suas classes laterais.
Seja G=S3 e . Liste todas as classes laterais à esquerda de H=lang<=(ll1 & 2)rang<= em H e determine G.

Passo 1

O enunciado pede listar todas as classes laterais à esquerda do subgrupo H = ⟨(1,2)⟩ em G = S_{3} e determinar [G:H]. O tema é teoria de grupos, mais especificamente classes laterais.

Passo 2

Como H = ⟨(1,2)⟩, concluímos que H = {e,,(1,2)}.

Passo 3

Lembrando que a classe lateral esquerda de H por um elemento g ∈ G é dada por gH = {g·h: h ∈ H}. Vamos calcular para representantes g que não estão em H.

Passo 4

Para g = e (identidade), temos eH = {e·e, e·(1,2)} = {e, (1,2)}.

Passo 5

Para g = (1,3), calculamos
(1,3)H = (1,3)·e,,(1,3)·(1,2) = (1,3),,(1,3)(1,2) = (1,3),,(1,2,3)

Passo 6

Para g = (2,3), calculamos
(2,3)H = (2,3)·e,,(2,3)·(1,2) = (2,3),,(2,3)(1,2) = (2,3),,(1,3,2)

Passo 7

Agora já temos todas as 3 classes laterais de tamanho |H| = 2 que cobrem |G| = 6 elementos. Portanto o número de classes laterais, que é o índice [G:H], é 3.

Resposta

As classes laterais à esquerda são: H = {e, (1,2)}, (1,3)H = {(1,3), (1,2,3)} e (2,3)H = {(2,3), (1,3,2)}. O índice [G:H] vale 3.

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