No grupo
, considere o subgrupo gerado pela permutação (1 2). Liste suas classes laterais.
Seja
e . Liste todas as classes laterais à esquerda de
em
e determine
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede listar todas as classes laterais à esquerda do subgrupo H = ⟨(1,2)⟩ em G = S_{3} e determinar [G:H]. O tema é teoria de grupos, mais especificamente classes laterais.
Passo 2
Como H = ⟨(1,2)⟩, concluímos que H = {e,,(1,2)}.
Passo 3
Lembrando que a classe lateral esquerda de H por um elemento g ∈ G é dada por gH = {g·h: h ∈ H}. Vamos calcular para representantes g que não estão em H.
Passo 4
Para g = e (identidade), temos eH = {e·e, e·(1,2)} = {e, (1,2)}.
Passo 5
Para g = (1,3), calculamos
Passo 6
Para g = (2,3), calculamos
Passo 7
Agora já temos todas as 3 classes laterais de tamanho |H| = 2 que cobrem |G| = 6 elementos. Portanto o número de classes laterais, que é o índice [G:H], é 3.
Resposta
As classes laterais à esquerda são: H = {e, (1,2)}, (1,3)H = {(1,3), (1,2,3)} e (2,3)H = {(2,3), (1,3,2)}. O índice [G:H] vale 3.