Esboce os gráficos das seguintes funções:
y=x 6-x 4 y=x^wed>= 6-x^wed>= 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função y = x^6 - x^4. Vamos usar conceitos de fatoração, estudo de sinais, derivadas e comportamento nas extremidades para montar o esboço.

Passo 2

Reescrevo a função em forma fatorada para analisar zeros e sinal:
y = x^6 - x^4 = x^4l(x^2 - 1r) = x^4(x-1)(x+1)

Passo 3

Determino as interseções com o eixo x (raízes) e a multiplicidade de cada uma:
  • x = 0 é raiz de multiplicidade 4 (toque «quádruplo» na origem).
  • x = 1 e x = -1 são raízes simples (cruzam o eixo).

Passo 4

Analiso o sinal de y em cada intervalo:
  • x^4 >= 0 sempre.
  • x^2-1>0 para |x|>1, logo y>0 em (-infty,-1)cup(1,infty).
  • x^2-1<0 para |x|<1, logo y<0 em (-1,1)setminus0.

Passo 5

Calculo a derivada para achar extremos locais:
y' = 6x^5 - 4x^3 = 2x^3(3x^2 - 2)

Passo 6

Zeramos y' em
  • x=0,
  • 3x^2-2=0implies x=pmraiz2/3

Passo 7

Avalio y nesses pontos:
  • y(0)=0
  • yl(pmraiz2/3r)=l(tfrac23r)^3l(tfrac23-1r)= -tfrac881

Passo 8

Faço o quadro de sinais de y' para classificar:
  • Em (-infty,-raiz2/3): y'<0 (decrescente).
  • Em (-raiz2/3,0): y'>0 (crescente) ⇒ x=-raiz2/3 é mínimo local.
  • Em (0,raiz2/3): y'<0 (decrescente) ⇒ x=0 é máximo local.
  • Em (raiz2/3,infty): y'>0 (crescente) ⇒ x=raiz2/3 é mínimo local.

Passo 9

Reúno todas as informações para esboçar:
  • Gráfico é par (simétrico em relação a y).
  • Interceptos em (-1,0),(0,0),(1,0).
  • Máximo local em (0,0).
  • Mínimos locais em (pmraiz2/3,-8/81).
  • yto+infty quando xtopminfty.

Resposta

O gráfico é uma curva par que intercepta o eixo x em -1,0, 0,0 (toque quádruplo) e 1,0; tem máximo local em (0,0) e mínimos locais em (pmraiz2/3,-8/81); cresce para +infty conforme |x|toinfty. Esboce respeitando essa forma.

Exercícios relacionados